高等测量平差-4

高等测量平差孙海燕武汉大学测绘学院第四章秩亏自由网平差第一节概述武汉大学测绘学院孙海燕一、最小二乘平差的数学模型与解算BXL)0|(|)(0)(12020QPQDDE0X引入参数的近似值，则，令xXX00BXLl得Bxl误差方程lxBVˆ平差准则minPVVT法方程PlBxPBBTTˆ参数估值PlBPBBxTT1)(ˆ))(0|(|utBrankPBBT单位权方差tnPVVT20ˆ参数协因数阵1ˆˆ)(PBBQTxx第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕例：如图水准网，1）设已知，则误差方程为法方程系数阵3H32121321ˆˆ101101lllxxvvv2112BBT211231)(,3||1BBBBTT2)()(tuBRBranklBBBxTT1)(ˆ2)(utBBrankT第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕2）已知，但设为未知参数，则平差的函数模型3H211121112BBT0ˆˆˆˆ1100111013321321321xlllxxxvvv3）未知，且设为未知参数，则3H32)(utBrank0||32)(BButBBrankTT1)()(BBrankuBrankudT（称为秩亏数，基准不足）d0d第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕二、基准不足的平差问题：秩亏自由网平差2、基准的作用与形式1、使得3、基准不同与有什么变化1）秩亏（起算数据不足）2）形亏（观测数据不足）xˆxxQˆˆutBrankPBBT)(0||的原因4、不同基准下平差的各种量有什么变化5、基准如何变换第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕第二节广义逆与线性方程组的解线性方程组,,1,1mnnmAxb12naaaxb1122nnxaxaxab方程组解的结构：的一个特解加的通解()rankArankAb三种情况：方程组有唯一解，有无穷组解，无解Axb0Ax如果，且，则有唯一解mn(),(||0)rankAnA1xAb第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕逆矩阵：给定一阶方阵，若存在一同阶方阵，使得则称为的逆矩阵，记为。方阵存在逆矩阵的充分必要条件为（满秩方阵）。对于或，但，不存在逆矩阵。AnBEBAABBA1ABA0||A)(,mnAmn)(,mnAmn0||A广义逆：对任意矩阵定义逆矩阵。A1、矩阵乘法无交换律，所以有左逆、右逆之分；2、矩阵与其广义逆相乘不必等于单位阵。A)(,,,nmEBAmmmnnm观察：AAGA()()TTABABBABA第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕一、行满秩长方阵的广义逆（右逆）对于，如果（行满秩），则令显然。称为的右逆。对于任意的，只要，则。nmARArank)()(nnV,nmA,11)(TTRAAAAmAART)(EAAAAAATTR11)(1RAAmAVART)(11)(TTRAVAVAA二、列满秩长方阵的广义逆（左逆）对于，如果（列满秩），则令显然。称为的右逆。对于任意的，只要，则。mnARArank)()(nnU,nmA,TTTLAAAAA11)(nAART)(EAAAAAATTL11)(1LAAnUAART)(UAUAAATTL11)(第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕二、广义逆矩阵1、定义：设为阶矩阵，秩满足如下方程的定义为的广义逆，记为，（减逆一般不唯一）-AAnm()min(,)rankArmnGAAGAAA,,mnnmAA2、的性质：（1）（2）（3）TTAA)()()()(TTAAAkkA1)(0kOkA)(0kAAAA2)(A的通式：AGAUAGUGA第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕（4）（5）若矩阵正定，则（6）为的广义逆，则也是的广义逆。AAAAAATT)(TTTTAAAAAA)(APAAPAAATT)(AATAATTGPG3、广义逆的计算1112...2122..rrrmrnmnrrnrmrAAAAA若，设111.mnAOAOOA()(,)rankArnm11()rankAr则第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕例：211121112BBNT()2rankN21det()3121212111212321011203000N验证：NNNN第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕三、广义逆矩阵是唯一的A1、如果对作某些限制，就可得到一种唯一的广义逆，称为Moore-Penrose广义逆，并用表示。AA它满足下列四个方程：)()()()()()(dAAAAcAAAAbAAAAaAAAATTA第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕（2）对一般的矩阵2、广义逆的计算A（1）对角阵][2211nnaaadiagA][2211nnaaadiagA0100iiiiiiiiaaaaTTTTAAAAAAAA)()(证明见P57第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕例：211121112A633363336TAA00002101291)()(AAAATT21112111291ATTTTAAAAAAAA)()(第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕四、相容方程组的广义逆解原方程的通解为：1、设为线性方程组的一个解，则有考虑的广义逆有，，所以YBAYABAXABBAAAYAABAXMAAEBAX)(为任意向量。验证如下：MBAMAAAMBMAAEABAAAX)(第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕第三节秩亏自由网平差原理（一）一、秩亏模型参数的最小二乘解12020,0)(0,)(,PQDEtudutBrankBXLlXBVPVVTˆmin满足法方程的解为最小二乘解，解不唯一，通解为MNNEPlBNXT)(ˆ0||ˆˆ)(NPlBXNPlBXPBBTTT解决办法：附加其它条件，从最小二乘解中挑选一个解第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕二、秩亏法方程的最小范数解TnxxxX)(21向量的范数定义为MNNEPlBNXT)(ˆ从中挑选一个解，使得212222121)()(nTxxxXXXminX所以，平差问题成为：minˆˆˆminXXlXBVPVVTT即求误差方程的最小二乘、最小范数解。最小二乘指改正数，最小范数指参数。亦即求长度最短的最小二乘解。第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕法方程的一个特解为，使的逆记为PlBNXTˆ则法方程的最小范数解为mNminX三、最小范数逆的定义：满足下列两个条件的矩阵GMNNEPlBNXmTm)(ˆmN称为最小范数逆。GAGAAAGAT)(矩阵最小范数逆的计算)(TTmAAAAmAA)(NNNNm所以第四章秩亏自由网平差第三节秩亏自由网平差原理（二）武汉大学测绘学院孙海燕一、平差原理（基准的概念）考虑误差方程式中lxBVˆ秩亏数utBrank)(0tudWxNPlBxPBBTTˆˆ必要观测数，参数个数tu法方程由于0||)()(NutBrankNrank所以误差方程的最小二乘解不惟一第四章秩亏自由网平差独立网的经典测量平差（经典自由网）武汉大学测绘学院孙海燕起算数据（基准）：水准网：一点的高程（1）边角网（导线网）：一点坐标、一边方位（3）测角网：一点坐标、一边方位、一边边长或两点坐标（4）对测角网，设1、2号点为已知点，取所有点坐标为待定参数，则须增加限制条件。取为已知值，限制条件为02020101,,,YXYX0ˆ0ˆ0ˆ0ˆ2211yxyx第二章最小二乘平差的统一理论和方法基准的表现形式：武汉大学测绘学院孙海燕1）起算数据2）约束方程秩亏自由网的基准约束条件：S0ˆ1uuuxTudxPS其中满足，且，基准权dSrank)(0BS的计算：S0Bx1）方程的基础解系2）方程的基础解系0NxxP3）矩阵的零特征值对应的特征向量NxNxEPx或EPx000第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕秩亏自由网平差归结为：0ˆxPSxT附有限制条件的间接平差minPVVT与的含义见后续内容S1）变形监测xP2）控制网的零级优化设计lxBVˆ秩亏自由网平差应用第四章秩亏自由网平差二、解算：武汉大学测绘学院孙海燕令由得法方程为022xTTTPSKPBV0ˆx将左乘（1）得TS0SKPPVBxTmin)ˆ(2xPSKPVVxTTT化简后得)2(0ˆ)1(ˆxPSPlBSKPxPBBxTTxT00)(ˆ)(ˆKSKPSPlBSSKPSxPBBSPlBSSKPSxPBBSxTTxTTTTxTTT第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕则令SPxWxPSSPNPlBxPSSPPBBxTxTxTxTˆ)(ˆ)(可以证明(2)式左乘与（1）相加得uPSSPNrankxTx)(1)(xTxPPSSPNQWQxPˆPPPTPxxNQQPQPBQBQQˆˆxTxPPxTxPPSSPQENQEPSSPNQ)(由得PxTxPPxxQPSSPQQQˆˆ第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕则选择使，并记此时的为所以STPxxGGQQˆˆ1)()(SPSSSPQSSPSSPQNSQEPSSPQNQEPSSPNQxTxPxTxPPxTxPPxTxP单位权方差因子式中tnPVVT20ˆ另TxTxTPxxSSPSSPSSQQ11ˆˆ)()(ESPSxTGS)(Brankt第四章秩亏自由网平差常规控制网的具体形式武汉大学测绘学院孙海燕水准网测角网S111TS边角网0002020101101010010101mmTXYXYXYS00020201010002020101101010010101mmmmTYXYXYXXYXYXYS第四章秩亏自由网平差武汉大学测绘学院孙海燕所以取取，平差模型为1)(TrSSNQ得三、重心基准的秩亏自由网平差EPxEGGGST0ˆxSTminPVVTlxBVˆWSSNxT1)(ˆ令则rTrrxxQSSQQQˆˆTrxxGGQQˆˆ第二章最小二乘平差的统一理论和方法武汉大学测绘学院孙海燕即：平差前后水准网的重心保持不变考虑水准网测边网、测角网的重心基准重心基准的含义0101011)ˆ(1ˆ1XXmxXmXmXmiimiiimii0ˆ0ˆ1miiTxxS于是111TS第二章最小二乘平差的统一理论和方法武汉大学测绘学院孙海燕取参数将参数分为两组四、拟稳平差2211,,000uuuuxEP][21,2,1,udT