论文浅谈导数地的应用

浅谈导数的应用摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程．关键词：极限;导数;微分实用标准文案精彩文档ShallowlyDiscussestheApplicationofDerivativeAbstract:Tostudyextremelyproblems,FrenchmathematicianFermatbroughtinderivativeidea.Derivativeisthebasisforustolearnmathandothernaturalsciencefurther,anindispensabletoolinresearchofmodernscienceandtechnology.Weshouldunderstandtheconceptandacquirethecapacityofsolvingproblemswithmathematicalideasandcreatederivativemodelaccordingtothemathematicalfeatureofthegivenproblem.Onaverage,weusespecificderivativeinaccordancewithdefinitetraitofthevariousproblems.Thederivativeideaplaysanimportantpartinmiddleschoolmath,advancedmathandourdailylife.Inthischapter,theconceptandessenceofderivativeareintroducedtodeepenpeople'sunderstandinginmathandhelptosimplifypeople'sderivative.Keywords:Limit;Derivative;Differential实用标准文案精彩文档0引言导数]1[来源于人类的社会实践，服务于人类的社会实践，导数是人类进一步学习数学和其他自然科学的基础，用导数来研究函数的性质，是研究现代科学技术中必不可少的工具．导数是在极限概念的基础上建立起来的，是微分学的一个重要概念，也是一个重要的解题方法.学习导数知识可以在实际应用中快速简洁的求曲线的切线方程.导数还是对函数图像与性质的总结和概括，是研究函数单调性的最佳的重要工具，是初等数学和高等数学的重要衔接点．导数还可以解决生产和生活中的最优决策和最优设计问题，即最大值、最小值问题．1导数的产生和发展导数概念是根据解决实际问题的需要，在极限的基础上建立起来的]9[，它是微分学中最重要的概念．而微分是微分学中又一个重要的概念，它与导数有密切的关系，两者在科学技术中有着广泛的应用．我们知道在一定条件下一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前，哪个概念产生在后呢？1.1微分概念的导出背景当一个函数的自变量有微小的改变时，它的因变量一般来说也会有一个相应的改变．微分的原始思想在于寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确的估计出这个改变量．我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度．在中学里利用计算向心加速度的方法已经求出这种速度为7．9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它．设卫星当前时刻在地球表面附近的A点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒钟后本应到达B点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达实用标准文案精彩文档的而是C点．BC=4．9米是自由落体的物体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离．容易看出，如果C点与地心O的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿着地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球飞行了．因此，卫星应具有的最小飞行速度恰好在线段AB的长度．ABC是直角三角形，OA和OC可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理即可求其加速度．1.2产生导数的实际背景从数学的发展历史来看，导数是伴随微分的诞生而顺理成章的产生的．也就是说，人们先有了微分的概念，随后才发现，对于处理微分问题来说，像这么一种特定形式的极限，即导数，是一个有力的工具．从法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，但与导数概念直接联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的]3[．用导数思想来处理微分问题]10[．因为一方面，从微分的形式来看，在比较复杂的情况下（比如高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等），无论是形式的思考还是实际的处理问题由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些，并且导数有它本身的意义，在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色．1.3导数的概念1、函数xfy在点0x处的导数可以写成以下形式]4[：00000limxxxfhxfxfxx2、导数的物理意义和几何意义:函数xfy在点x处的导数是函数在该点处的平均变化率xy的极限，因而它反映了客观运动的瞬时变化率．在几何学上，xfy在某点处的导数0xf表示函数0xfy的图形在点00,yx处的切线斜率，即0tanxf，其中是过点00,yx的切线的倾角]7[．实用标准文案精彩文档2导数的应用2.1导数在中学数学中的应用在中学数学中，常利用导数的几何意义来求曲线的切线方程，还会用到导数的单调性以及用导数求极值点和最值的问题．由此可见，导数在中学数学中的应用是十分广泛的，不妨通过以下例题来说明．例1]6[已知数列na；1109nann，问数列中是否有最大项？若有，请求出最大项；若没有，请说明理由．解因为数列是一种特殊的函数关系，是离散的，不能直接求导．所以可设1109xyx0x，同时取对数后求导可得1110ln9ln1109xxyx，令0y，得4877.8x；当4877.80x时，0y；当4877.8x时，0y，且有唯一解；当4877.8x时，y最大；故8n或9n时，na最大；8981099aa．2.11利用导数求曲线的切线方程归纳起来有两种问题类型，下面我们来系统的分析一下怎么解决这类问题．情况一：设xfy为可导函数，求过000,yxm点作C：xfy的切线方程．(1)若Cyxm000,，xfy；即00xfy．则0xfk，过0m的切线方程为000xxxfyy．(2)若Cyxm000,，即00xfy．可设切点111,yxm，则11xfy过1m的切线方程为111xxxfxfy，此切线过0m．于是可由10110xxxfxfy解出1x．因而过0m的切线方程为111xxxfxfy或010xxxfyy．情况二：设xfy，xgy为可导函数，曲线p：xfy与曲线q：xgy相切，求切线方程．解：由于两曲线p，q相切，必须假设公切点000,yxm满足pm0，qm0，即实用标准文案精彩文档00xfy(1)00xgy(2)又因为两曲线在公切点0m处切线的斜率相等，即00xgxf(3)解(1)(2)(3)式，可得公切点000,yxm坐标，从而求得公切线方程．2.12三角函数的问题此类问题同样可以用导数的思想来解决．例如，可以利用导数求三角函数的周期，还可以判断其奇偶性，以及求其单调区间等．下面先考虑两个结论：(1)可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．证明：设xf是可导的偶函数，有xfxf且xfxf即xfxf；所以xfxf；即有xf的导数xf为奇函数．同理可证奇函数的导函数是偶函数．(2)可导的周期函数，其导数仍是周期函数且原函数的周期是导数的一个周期．证明：设xf为可导的周期函数，其周期为t，根据周期定义有：xfntxf...2,1,0n，于是有xfntxf．例2]6[设函数xxf2sin0，xfy图像上一条对称轴是直线8x，(1)：求;(2)：求函数xfy的单调区间;(3)：证明直线025cyx与函数xfy的图像不相切．解(1)因为xxf2cos2，又因为图像的一条对称轴是直线8x；知08f，则有04cos．所以24k；k=1，2…，又0，所以43．实用标准文案精彩文档(2)由前问432cos2xxf而0y考虑到端点值有322242kxk，即函数xfy的斜率的取值范围为[2,2]，而直线520xyc的斜率为522，则直线与曲线的图像不相切．数学是具有高度抽象性和概括性的学科，通过导数可以培养学生的科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，可以使学生养成严格的推理习惯和全面分析问题的能力．2.2导数在高等数学中的应用2.21利用洛必达法则、泰勒公式求极限例3]2[求极限xxxex1101lim解因为1110020(1)1(1)limlimexplnln(1)limexpxxxxxxxxexexxx而利用洛必达法则eexxxxxxxxxxx1100201lim212111lim1lnlim利用洛必达法则求极限要注意以下几点：验证所求的极限式是不是00或型．如果不是，要将其转化为00或型；在求极限之前，应首先利用等价无穷小代换或通过其他变形（如有理化、变量代换）把未定式代换成最简式；洛必达法则可以反复多次使用，只要满足其前提条件即可；如果xgxflim不存在，不能判定xgxflim也不存在．实用标准文案精彩文档2.22利用函数单调性、中值定理、泰勒公式、最值证明不等式此类问题的解决方法两种思路：(1)利用函数的单调性将要证明的不等式的右端的所有项全部移到左端，把其中的某个字母（比如a）改为x，并把左端的函数记为xF，利用函数的单调性证明0xF或0xF．若要证明的不等式是xgxf，一般是构造函数xgxfxF，利用xF的符号判断它的单调性．(2)证明数列极限形式，须将离散变量转换为连续变量，再用洛必达法则．如下所示：例4]5[求极限211lim(1)nxnn解先求函数极限xxxx2111lim，取对数后的极限式为112lim12112lim1ln1lnlim111lnlim2222222xxxxxxxx