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第18讲PART3三角函数的图像与性质教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题考试说明1.能画出函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等),理解正切函数在区间-π2,π2内的单调性.考情分析教学参考考点考查方向考例考查热度三角函数的定义域、值域(最值)求定义域、值域、最值2017全国卷Ⅱ13,2014全国卷Ⅱ14,2013全国卷Ⅰ15★★☆三角函数的单调性与周期性确定单调区间、最小正周期,根据单调区间、最小正周期求参数值等2017全国卷Ⅱ3,2015全国卷Ⅰ8★★★三角函数图像的对称轴、奇偶性判断奇偶性、确定函数图像的对称轴方程、对称中心坐标,根据奇偶性和函数图像的对称性确定参数值或参数范围等2016全国卷Ⅰ12,2016全国卷Ⅱ7★☆☆真题再现■[2017－2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin2𝑥+π3的最小正周期为()A.4πB.2πC.πD.π2教学参考[解析]函数f(x)=sin2𝑥+π3的最小正周期为T=2π2=π.[答案]C2.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω0,|φ|≤π2,x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在π18,5π36单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5教学参考[解析]由已知可得-π4ω+φ=kπ,k∈Z,π4ω+φ=mπ+π2,m∈Z,两式相加,得2φ=(k+m)π+π2.因为|φ|≤π2,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±π4,两式相减得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.[答案]B2.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω0,|φ|≤π2,x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在π18,5π36单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5教学参考因为函数f(x)在区间π18,5π36单调,所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可,且5π36-π18≤12×2π𝜔,即ω≤12.(1)当φ=π4时,f(x)=sinωx+π4,则kπ-π2≤π18ω+π4且5π36ω+π4≤kπ+π2,k∈Z,解得36𝑘-272≤ω≤36𝑘+95.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,此时ω的最大值为9.2.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω0,|φ|≤π2,x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在π18,5π36单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5教学参考(2)当φ=-π4时,f(x)=sinωx-π4,则kπ-π2≤π18ω-π4且5π36ω-π4≤kπ+π2,k∈Z,解得36𝑘-92≤ω≤36𝑘+275.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤275,此时ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.3.[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y=2sin2x的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图像的对称轴为()A.x=𝑘π2-π6(k∈Z)B.x=𝑘π2+π6(k∈Z)C.x=𝑘π2-π12(k∈Z)D.x=𝑘π2+π12(k∈Z)教学参考[解析]平移后的图像对应的解析式为y=2sin2x+π12,令2𝑥+π12=kπ+π2(k∈Z),得对称轴方程为x=𝑘π2+π6(k∈Z).[答案]B4.[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图3-18-1所示,则f(x)的单调递减区间为()A.𝑘π-14,𝑘π+34,k∈ZB.2𝑘π-14,2𝑘π+34,k∈ZC.𝑘-14,𝑘+34,k∈ZD.2𝑘-14,2𝑘+34,k∈Z教学参考[解析]由图知𝑇2=54-14=1,所以T=2,即2π𝜔=2,所以ω=±π.因为函数f(x)的图像过点14,0,所以当ω=π时,𝜔4+φ=π2+2kπ,k∈Z,解得φ=π4+2kπ,k∈Z;当ω=-π时,𝜔4+φ=-π2+2kπ,k∈Z,解得φ=-π4+2kπ,k∈Z.所以f(x)=cosπ𝑥+π4,由2kππx+π4π+2kπ,解得2k-14x2k+34,k∈Z,故选D.[答案]D5.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.教学参考[解析]因为f(x)=2cosx+sinx=5sin(x+φ)(其中tanφ=2),所以f(x)max=5.[答案]56.[2014·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.教学参考[解析]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sinx,故其最大值为1.[答案]17.[2013·全国卷Ⅰ]设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=.教学参考[解析]因为f(x)=sinx-2cosx=5sin(x+φ)tan𝜑=-2,𝜑∈-π2,0,所以当x+φ=π2+2kπ(k∈Z),即x=π2-φ+2kπ(k∈Z)时,y=f(x)取得最大值5,则cosθ=cosx=cosπ2-𝜑+2𝑘π=sinφ,由tan𝜑=sin𝜑cos𝜑=-2,sin2𝜑+cos2𝜑=1,φ∈-π2,0可得sinφ=-255,所以cosθ=-255.[答案]-255■[2017－2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]函数y=3sin2x+cos2x的最小正周期为()A.π2B.2π3C.πD.2π教学参考[解析]因为y=3sin2x+cos2x=232sin2x+12cos2x=2sin2x+π6,所以其最小正周期T=2π2=π,故选C.[答案]C2.[2016·浙江卷]设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关教学参考[解析]若b=0,则f(x)=sin2x+c=1-cos2𝑥2+c=-12cos2x+12+c的最小正周期是π;若b≠0,则f(x)=sin2x+bsinx+c的最小正周期是2π.故选B.[答案]B3.[2017·天津卷]设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω0,|φ|π.若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π24教学参考[解析]∵f5π8=2,f11π8=0,∴11π8-5π8=𝑇4(2m+1),m∈N,解得T=3π2𝑚+1,m∈N.∵f(x)的最小正周期大于2π,∴m=0,∴T=3π,则ω=23.由题意得23×5π8+φ=π2+2kπ,k∈Z,解得φ=π12+2kπ,k∈Z,又∵|φ|π,∴φ=π12.[答案]A4.[2016·江苏卷]定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图像与y=cosx的图像的交点个数是.教学参考[解析]方法一:令sin2x=cosx,即2sinxcosx=cosx,解得cosx=0或sinx=12,即x=kπ+π2或x=2kπ+π6或x=2kπ+56π(k∈Z),又x∈[0,3π],故x=π2,3π2,5π2或x=π6,5π6,13π6,17π6,共7个解,故两个函数的图像有7个交点.[答案]74.[2016·江苏卷]定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图像与y=cosx的图像的交点个数是.教学参考方法二:在同一个坐标系内画出这两个函数的图像,由图像可得交点有7个.5.[2016·天津卷]已知函数f(x)=4tanxsinπ2-xcosx-π3-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-π4,π4上的单调性.教学参考解:(1)f(x)的定义域为xx≠π2+kπ,k∈Z.f(x)=4tanxcosxcosx-π3-3=4sinxcosx-π3-3=4sinx12cosx+32sinx-3=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x+3(1-cos2x)-3=sin2x-3cos2x=2sin2x-π3,所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.5.[2016·天津卷]已知函数f(x)=4tanxsinπ2-xcosx-π3-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-π4,π4上的单调性.教学参考(2)令z=2x-π3,函数y=2sinz的单调递增区间是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=-π4,π4,B=x-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=-π12,π4.所以当x∈-π4,π4时,f(x)在区间-π12,π4上单调递增,在区间-π4,-π12上单调递减.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域RRxx∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z值域知识聚焦课前双基巩固[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数单调性2kπ-π2,2kπ+π2上为增函数;上为减函数[2kπ,2kπ+π]上为减函数;上为增函数kπ-π2,kπ+π2上为增函数对称中心kπ+π2,0𝑘π2,0对称轴x=kπ+π2无课前双基巩固奇函数[2kπ-π,2kπ]偶函数(kπ,0)x=kπ常用结论1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2π|𝜔|,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=π|𝜔|.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,偶函数一般可化为y=Acosωx+b的形式.课前双基巩固对点演练课前双基巩固题组一常识题1.[教材改编]函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是.[答案]π[解析]T=2π𝜔=2π2=π.课前双基巩固2.[教材改编]若函数y=Asinx+1(A0)的最大值是3,则它的最小值是.[答案]-1[解析]依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sinx+1的最小值为1-2=-1.课前双基巩固3.[教材改编]函数y=2cosx在[-π,0]上是函数,在[0,π]上是函数.[答案]增减[解析]由余弦函数的单调性,得函数y=2cosx在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.课前双基巩固4.[教材改编]函数f(x)的定义域为[0,1],则f(cosx)的定义域为.[答案]2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z)[解析]由题意知0≤cosx≤1,∴2kπ-π2≤x≤2kπ+π2(k∈Z).课前双基巩固题组二常错题◆索引:忽视y=Asinx(或y=Acosx)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视限制条件.5.函数y=1-2cosx的单调递减区间是.[答案][2kπ-π,2kπ](k∈Z)[解析]函数y=1-2cosx的单调递减区间即函数y=-cosx的单调递减区间,即函数y=cosx的单调递增区间,为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).课前双基巩固6.函数y=cosxtanx的值域是.[答案](-1,1)[解析]∵x≠π2+kπ(k∈Z),y=cosxtanx=sinx,∴y=sinx∈(-1,1),即函数y=cosxtanx的值域是(-1,1).课前双基巩固7.函数y=-cos2x+3cosx-1的