磁场中的“最小面积”问题

1磁场中的“最小面积”问题河南省信阳高级中学陈庆威2016.12.27带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P1点以速度v射入第一象限所示的区域，入射方向与x轴正方向成α角．为了使该粒子能从x轴上的P2点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成α角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若磁场分布为一个圆形区域，求这一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，RvmqvB2由牛顿第二定律得：qBmvR则粒子在磁场中做圆周的半径：由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半2径等于r的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切，如图所示：则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为R的O′点就是圆周的圆心．粒子在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆上的圆弧ef，而e点和f点应在所求圆形磁场区域的边界上，在通过e、f两点的不同的圆周中，最小的一个是以ef连线为直径的圆周．qBmvRrsinsin即得圆形区域的最小半径则这个圆形区域磁场的最小面积222222minsinBqvmrS例题2：如图所示，一带电质点,质量为m，电量为q，以平行于ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计。解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动,RmvqvB2qBmvR,得根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周,3这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过a点作平行于x轴的直线,过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的O′点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆(图中虚线圆)上的圆弧MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。qBmvRr2222min所求圆形磁场最小半径为例题3：一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xoy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和xoy平面上磁场区域的半径R。解析：粒子在磁场中受到洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，则有据此并由题意可得，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外．过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于4Q点．作圆弧过O点与x轴相切，并且与PQ相切，切点A即粒子离开磁场区的地点．这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示由图中几何关系得：L=3r由以上两式可得：图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，LR33由图中几何关系可得例题4：如图所示，在纸平面内建立如图所示的直角坐标系xoy，在第一象限的区域存在沿y轴正方向的匀强电场。现有一质量为m、电)83,(LLP量为e的电子从第一象限的某点以初速度v0沿x轴的负方向开始运动，经过轴上的点Q（L/4、0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，其左边界和上边界分别与y轴、x轴重合，电子经磁场偏转后恰好经过坐标原点O并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力。求（1）电子经过Q点的速度；（2）该匀强磁场的磁感应强度；（3）该匀强磁场的最小面积S。解析:（1）电子类平抛运动，5解得所以经过Q点的速度方向与水平方向夹角为（2）速度偏转角为，则圆弧所对的圆心角为。由几何关系得解得由向心力公式解得方向垂直纸面向里。（3）矩形磁场的右边界距y轴的距离为6矩形磁场的下边界距x轴的距离为故磁场的最小面积为例题5：一个质量为m,带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：（1）该粒子在磁场里运动的时间t；（2）该正三角形区域磁场的最小边长；（3）画出磁场区域及粒子运动的轨迹。分析：根据题意，画出粒子运动的轨迹，根据几何关系可求解粒子在磁场里运动的时间以及正三角形区域的最小边长．解析：（1）由洛伦兹力提供向心力rmvqvB2得：qBmvrT22且周期qBmvr得轨道半径由题意知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图粒子的运动轨迹7为圆弧GDEF，圆弧在G点与初速度方向相切，在F点与射出的速度方向相切，画出三角形abc，其与圆弧在D、E点相切，并与圆O交与F、G两点，即为所求最小磁场区域，由数学知识可知，∠FOG=60°qBmTt3565该粒子在此磁场里运动的时间：（2）aH为底边cb上的高，aH=aO+OH=2r+rcos30°00030cos30cos230cosrraHL则正三角形区域磁场的最小边长为：1334qBmvL解得（3）如上图：例题6：（2009海南16）如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：⑴此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；⑵此匀强磁场区域的最小面积。解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力①应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为a8根据牛顿定律有②联立①②式得③（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为θ（不妨设）的情形。该电子的运动轨迹qpA如图所示图中，圆的圆心为O，pq垂直于BC边，由③式知，圆弧的半径仍为a，在D为原点、DC为x轴，AD为y轴的坐标系中，P点的坐标为这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为9以上六道各具特色的例题，细读，你会发现，它解决的不仅仅是一类问题，它更提供了一种模型，让你在提升能力的同时提炼方法。