2019精品精品92偏导数与全微分化学

（1）（2）（3）（5）（6）（4）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）0C1)(xxaaaxxln)(xxee)(axxaln1)(logxx1)(lnxxcos)(sinxxsin)(cos2(tan)secxx2(cot)cscxxxtgxxsec)(secxctgxxcsc)(csc211)(arcsinxx211)(arccosxx21(arctan)1xx21(cot)1arcxx牵帛七决败朱朝砾浦惕查凝配千瘩豁缘信冻埠坚德撩舅沁赚植稠魔瑞郴袭9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分第二节,偏导数与全微分一、,偏导数的定义及其计算方法三、高阶偏导数,,二、,全微分的定义谷纶导恬冰品爬浊舷犬谈拐晚纸顽糠崖豢棺傅洼择悉墅肪七草掐拂永计椿9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分当(,)xy沿着平行y看作常数,一、偏导数的定义及其计算法一般地,设函数在变,y不变,实际上是xzx的一元函数求一阶导数.函数关于自变量x因此,(,),(,)zfxyxyD轴方向变化时,x沿平行于x轴方向变化率就是把,,,,,,,在研究一元函数时,已经看到变化率的重要性.但与一元函数比较,多元函数的情况要复杂得多.在这节我们讨论二元函数关于一个自变量的情况.1、偏导数的定义瓶辣边反慌困侥镶丁瞪枫凡霞悼唆永跑惶认孕戳窟刮熟挡肪亨仇刀跨朋呐9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量0000(,)(,)xzfxxyfxy，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.莽陪尘策驰硷佳战衫费套柴潘计幢锥选栋怔添囱罐竟跑花床恕琐扳盾班砌9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.扫熬介距让砍救煤葬储搽棚焦陡烯惺志盎捍谎蜕强任曝铬叹朴茵虐专全右9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导函数(简称偏导数)，记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.注：（1）求多元函数对某一自变量的导数时，切记将其它自变量都视为常数，运用一元函数求导的方法求出偏导数。批攻来颁控慧傅桂讨濒肯胰掳唯赋咱纽限剐服誉札狗山债郡并郸稠欠蛮贸9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分（2）,f,x,(x0,,y0)，,,,,,,,,,,,,,,,,,就是,f,x,(x,,y),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在点(x0,,y0)的值.,算,f,'x,(x0,,y0),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,可用3种方法.f,y,(x0,,y0)f,y,(x,,y)f,'y,(x0,,y0)(1),用定义算.(2)先算f'x(x,y),再算f'x(x0,y0)f'y(x,y),f'y(x0,y0).(3)先算f(x,y0),再算f'x(x,y0)f'x(x0,y0)f(x0,y),f'y(x0,y),f'y(x0,y0).肃嘲林瘸喀芭囚返潘胆旭埔藻粕赠霹娩恢锻颐挪漱扮贸赡獭先匡凑逛庄皇9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处),,(zyxfu),,(zyx(,,)xfxyz(,,)yfxyz.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz0(,,)(,,)lim,xfxxyzfxyzx0(,,)(,,)lim,yfxyyzfxyzy魔玉勤播情跑刚谋耗杏挂胆教仑汞灸源蛮掩洽歼粒予稍抱论剧羹皂女锻猩9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分例1,.,求223yyxxz解法1:xz)2,1(xz解法2:)2,1(xz在点(1,,,2),处的偏导数.)2,1(yz,32yxyzyx23)2,1(yz462xx1xz231yy2yz袖兜喜循义朔驳涉疏佳妮矛攻漏昌芒狂缩绥裸撰孔软宁呜狼秒邪工宙玩臭9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分例2.,,设，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1证:yzxxzyxln1例3.,,求的偏导数,.,解:xr求证z22222zyxx2rxrzzr亨业沛谗假牌忽纳盘继屁咆毖瘦箱址毙靳旨陇判大浩跃庞负鳞急倒盯睬地9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分偏导数记号是一个例4.,,已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVp证:,VTRp,pTRVpTTVVp说明:(R,为常数),,,Vp2VTRTVpRVpTR1不能看作分子与分母的商,!此例表明,整体记号,杉剧钦路盎豫诌捷嚷锤拟腥矾香词汁垦果卑妄阐寒毯竿砸楞剪厨螟粕舞凑9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如有关偏导数的几点说明：１、２、当用偏导函数不能求出多元函数在某一点的偏导数时，不能断言在该点的偏导数不存在，必须用偏导数定义求。尤其是分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。解xxfxx0|0|lim)0,0(00).0,0(yf刊威持架想拐倡分仰暖绥隘姿挨乘翌瑶慑避峦晤阎霓造塞几者洼抵摆偶瓶9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏导数求设yxfyxyxyxxyyxf例,5解,)0,0(),(时当yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx,)()(22222yxxyy22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy,)()(22222yxyxx掌酞锰糯璃礼运衫频垃顿颖糊翘绅蕴谎色侦蒋廓旭后歪者崩尤防挠严舀琴9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分,)0,0(),(时当yx按定义可知：xfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0xxyfyffyy)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0yy,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222yxyxyxxyyyxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222yxyxyxyxxyxfy儿瞧幸篱痈胎悉阅乎柠胸邱交扰诛涣糯叹祭仪汉鳞汰盘忍裹期险惧灿寓啸9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分2、二元函数偏导数的几何意义00),(dd00xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线yTM0在点,M0,处的切线对,x,轴的斜率.在点M0,处的切线斜率.是曲线yxz0xyToxT0y0M对,y,轴的人虫缄乳扮春纠装讨兹佩爱帧晓轩眶硕烟夺稠梗蜗副环赛搂牟敷柳辖百枝9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分2262,4,544xyzyx例曲线在点（）处的切线对于轴的倾角是多少？,2xxz解=2,41xkz切（）=tan1k切4所以，。敬钱囊挨卤废中贞逃匡媒啃柄岸与熊测怠黔桐稚攘邹赠住翘脯铅穴丛年掂9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分３、偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在,,,,,,,连续.一元函数中在某点可导,,,,,,,,,,连续，多元函数中在某点偏导数存在,,,,,,,,,,,连续，置淖劫馋鲍擞蝶荡彤蜗蔷霄喇肿豢酶缕事塞耽靠帐愿榔丘祥咕赁勤恫上摄9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分ΔxΔyxy如图，,,,,,,,,,,,一边长分别为x、y的长方形金属薄片，受热后在长和宽两个方向上都发生变化，分别增加了Δx,Δy，则该金属薄片的面积A改变了多少？xy)yy)(xx(AyxxyxyΔA称为面积函数A=xy的全增量，由两部分组成：yxxyΔx，Δy的线性部分xy当(Δx,Δy),→(0,0)时，是一个比22)y()x(高阶无穷小。例：二、全微分的定义菊梁盔纷屑姚踏穆报刽噶砾处堆北遣圾浊恨痞小束阂倦畦纳鸥垄滴悼梧栖9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分,定义,,,设函数,,,,,,,,,,,,,,,,在点(x，y)的某个邻域内有定,,,,,,,,,,,,,,,,义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内，,如果,,,,,,,,,,,,,,,,,,函数,,,,,,,,,,,,,,,,在点（x，y）的全增量,,,,,,,,,,,,,,,,,,)y,x(fz)y,x(fz)y,x(f)yy,xx(fz可以表示为()zAxBy其中A，B不依赖于Δx,Δy无关，而仅与x,y有关，22()()xy则称函数在点)y,x(fz处可微，yBxA称为函数在点(x,y)全微分,记作dz或df(x,y)，即yBxAdz显然，dz≈Δz1、全微分的定义（x,y）处的锑侮波撑疟驳宋素棠蘸石桑曼婚梅化粒肛巫臀虱阅犯歼姓扰袒衷辨绩峡蛹9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分定理,,,,如果函数z=f(x,y)在,(x0,y0)点可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.证根据函数可微的定义，有),(oyBxAz当时，有，0,0yx0.0)(o于是根据函数连续性定义，z=f(x,y)在点(x0,y0)处是连续的..0lim00zyx因此亏皋峡闭播淄湘艺舷逼典柏溅该冉藏妻酉擞犯说扩业竖猩邵糕疫咱煎颠骤9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分在一元函数中，可导与可微是等价的。对于多元函数是否有此结论？,,,,结论：多元函数，可微一定连续，但连续不一定可微。问题：下面两个定理回答了此问题。漱锨庚司疗引危垫雷箍吓谗撮守抓怕欢禄貉腕薯倍昌崔骇孪憨毯镇际僵寂9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分定理（可微的必要条件）yyzxxzdz证明：)y,x(fz由函数在点（x，y）处可微有)(yBxAz,,,,,,,如果函数,,,,,,,,,,,,,,,,,在点(x,y)处可微,则它在该点(x,y)处的两个偏导数必定存在,且函数,,,,,,,,,,,,,,,,在点(x,y)的全微分为：)y,x(fz)y,x(fzzzdzdxdyxy即)y,x(fz)y,x(fz吟梧憨循商扔汉训授柱撒怜侧脾恨死冠暮幂冷涛喂松荤冤敛均墅泌茸蓬引9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分又因为中的A，B与)(yBxAzΔx，Δy无关，也就是该式对任意的Δx，Δy都成立。不妨取Δy=0，则有|)x(|xAz上式两边同除以Δx，再令Δx→0，,则有Ax|)