复数学习的重难点

1复数的学习的重难点一．知识结构二．重点、难点、热点剖析由于复数在整个高中数学所处的地位的改变，今后高考时复数不会有太多太高的要求，试题数量稳定在一道试题，难度不会太大，复数的概念及复数的运算是复数应用的基础，是高考考查的重点，复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点。而复数的乘、除更是考查的重点，主要考查基本运算能力，另外复数的有关概念众多，涉及知识面广，易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考查。三．技巧方法1、设z＝a＋bi(a,bR),利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法，同时要学会以整体的角度出发去分析和求解，如果遇到复数就设z＝a＋bi(a,bR),有时带来不必要的运算上的困难，若能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍。2、在简化运算中，如能合理运用i和复数的模等有关的性质，常能出奇制胜，事半功倍，所以在学习中注意积累并灵活运用。3、性质：22||||zzzz是复数运算与实数运算相互转化的重要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。4、学习本章时，应注意联系全面学过的实数的性质，实数的运算内容，以便对复数的知识有较完整的认识。四、注意点析1、要注意实数、虚数。纯虚数、复数之间的联系与区别，实数集和虚数集都是复数集的真子集，它们的并集是复数集，它们的交集是空集，纯虚数集是虚数集的真子集，2、当概念扩展到复数后，实数集R中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等。3、熟练掌握复数乘法、除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。五、思想方法1、数形结合这是本章的主要数学思想，例如复数本身的几何意义及四则运算的几何意义等。图形要画得合乎题意，充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题。2、方程的思想，主要体现在复数相等的充要条件和复数方程。3、转化思想，转化思想是复数的重要思想方法，既然在实数的基础上扩展到复数，自然复数中的许多问题都可以转化到实数集内解决，如求模运算，复数相等的充要条件及22||||zzzz等，进行复数与实数间的转化。4、分类讨论思想：它是一种比较重要的解题策略和方法，在复数中它能够使复杂问题简单化，从而化整为零，各个击破。5、主要方法有：待定系数法、整体法；待定系数法是利用复数的代数形式，设复数z＝a＋bi的形式代入，再利用复数相等或其它途径，转化为与a，b相关的等式，求出a，b即可得数系扩充复数复数的概念复数的运算定义代数形式四则运算几何意义2到复数z。在复数学习中有必要根据条件与待求结论的特点，通过研究问题的整体形式、整体结构或作某些整体处理，这样往往可以避繁就简，化难为易，顺速解决问题。六、典例分析1、基本概念计算类例1．若,43,221iziaz且21zz为纯虚数，则实数a的值为_________解：因为，21zz＝25)46(83258463)43)(43()43)(2(432iaaiaiaiiiiaiia，又21zz为纯虚数，所以，3a－8＝0，且6＋4a0。38a2、复数方程问题例2．证明：在复数范围内，方程iiziz255)1(||2（i为虚数单位）无解。证明：原方程化简为,31)1()1(||iziziz设z＝x＋yi(x、yR)，代入上述方程得3221.31222222yxyxiyixiyx整理得051282xx.016方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。点评：本题主要考查复数方程等知识，一般是设Z的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方程。3、综合类例3．设z是虚数，zz1是实数，且－12（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设zzM11，求证：M为纯虚数；（3）求2M的最小值。分析：本题考查复数的概念、复数的模、复数的运算及不等式的知识，以及运算能力和推理能力。解：（1）设z＝a＋bi（a，b0,bR）,)()(12222ibabbbaaabiabia因为，是实数，0b所以，122ba，即|z|＝1，因为＝2a，－12，121a所以，z的实部的取值范围（－1,21）。3（2）zzM11＝1)1(21)1)(1()1)(1(112222abibabibabiabiabiabiabiabia（这里利用了（1）中122ba）。因为a（－1,21），0b，所以M为纯虚数。（3）2M112)1(12)1(22222aaaaaaaba3]11)1[(21212aaaa因为，a（－1,21），所以，a＋10，所以2M2×2－3＝1，当a＋1＝11a，即a＝0时上式取等号，所以，2M的最小值是1。点评：本题以复数的有关概念为载体，考查学生的化归能力，考查了均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力。正是高考的重点。4、创新类例4．对于任意两个复数Ryyxxiyxziyxz2121222111,,,(,)定义运算“⊙”为1z⊙2z＝2121yyxx，设非零复数21,在复平面内对应的点分别为21,PP,点O为坐标原点，若1⊙2＝0，则在21OPP中，21OPP的大小为_________.分析：本题立意新颖，解题入口宽，是一道不可多得的好题。解法一：（解析法）设)0,(,21222111aaibaiba，故得点),(111baP，),(222baP，且2121bbaa＝0，即12211abab从而有2121OPOPkk＝12211abab故21OPOP,也即02190OPP解法二：（用复数的模）同法一的假设，知21212121||||baOP22222222||||baOP22121221221|)()(|||||ibbaaPP＝2121ba＋2222ba－2（2121bbaa）＝2121ba＋2222ba－2×0＝2121ba＋2222ba＝21||OP＋22||OP由勾股定理的逆定理知02190OPP4解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知),(),,(222111baOPbaOP，则有0cos22222121212121bababbaaOPOP故02190OPP