一元二次不等式的应用全面版

课前探究学习课堂讲练互动掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题．2.2一元二次不等式的应用【课标要求】【核心扫描】一元二次不等式的应用．(重点)一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)与二次函数、二次方程、实际应用题联系密切，而且应用广泛．注意实际问题中变量有意义的范围．1．2．1．2．3．4．课前探究学习课堂讲练互动一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集是R的等价条件是__________；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集是R的等价条件是__________.自学导引1．a0且Δ0a0且Δ0课前探究学习课堂讲练互动2．分式不等式(1)fxgx0⇔f(x)·g(x)0；(2)fxgx⇔f(x)·g(x)0；(3)fxgx≥0⇔fx·gx≥0，gx≠0；(4)fxgx≤0⇔fx·gx≤0，gx≠0.课前探究学习课堂讲练互动穿针引线法——解简单分式不等式或高次不等式的方法(1)将不等式化为标准形式；一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积．(2)求出各因式为0时的实数根，并在数轴上标出．(3)自最右端上方起，用曲线从右至左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(说明：奇过偶不过)．(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解．3．4．课前探究学习课堂讲练互动想一想：用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗？________(用“能”或“不能”填空)提示能．设矩形一边的长为xm，则另一边的长为(50－x)m，0＜x＜50.由题意，得x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600m2的矩形课前探究学习课堂讲练互动由二次函数图像与一元二次不等式的关系分析，可以得到常用的两个结论：(1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；名师点睛当a≠0时a＞0，Δ＜0.(2)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0.当a≠0时，a＜0，Δ＜0.1．课前探究学习课堂讲练互动一元二次不等式的实际应用(1)解不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解决好不等式应用题最关键的一环．(2)不等式应用题常常以函数的形式出现，大都是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及不等式解法及有关问题．(3)不等式应用题主要考查综合运用数学知识，数学方法分析和解决实际问题的能力，考查数学建模、解不等式等数学内容．2．课前探究学习课堂讲练互动分离参数法——解不等式恒成立问题对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.3．课前探究学习课堂讲练互动题型一恒成立问题当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R?[思路探索]不等式的解集为R，也就是函数f(x)＝(a2－1)x2－(a－1)x－1的图像恒在x轴下方，注意二次项系数a2－1可能为0，也可能小于0，应分两种情况讨论加以解决．【例1】课前探究学习课堂讲练互动解①当a2－1＝0时，a＝1或－1.若a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1＜0即x＜12不合题意，舍去．②当a2－1≠0时，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是a2－1＜0Δ＝[－a－1]2＋4a2－1＜0，解得－35＜a＜1.课前探究学习课堂讲练互动(2)审清题意，弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．例如，“已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对∀a∈[－3,1]，y＜0恒成立”中，变量是a，参数是x，该函数是关于a的函数．规律方法(1)关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x∈R恒成立的条件除了a＞0，Δ＜0外，还应该考虑二次项系数a＝0时是否成立；同样的关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x∈R恒成立的条件除了a＜0，Δ＜0外，应该考虑二次项系数a＝0时是否成立．课前探究学习课堂讲练互动不等式(a＋1)x2＋ax＋a＞m(x2＋x＋1)对任意x恒成立，试比较a与m的大小．解原不等式整理得(a－m＋1)x2＋(a－m)x＋a－m＞0对任意x恒成立．①当a－m＋1＝0时，原不等式化为－x－1＞0，即x＜－1，不恒成立．②当a－m＋1≠0时，由题意知【训练1】a－m＋1＞0，Δ＝a－m2－4a－m＋1a－m＜0.∴a－m＋1＞0，a－m[3a－m＋1＋1]＞0，∵a－m＋1＞0，∴3(a－m＋1)＋1＞1＞0，∴a－m＞0，∴a＞m.综上，a与m的大小关系是a＞m.课前探究学习课堂讲练互动[思路探索]将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组．【例2】题型二分式不等式的解法解下列不等式：(1)x－3x＋2＜0；(2)x＋12x－3≤1；(3)2x＋11－x＜0.解(1)x－3x＋2＜0⇔(x－3)(x＋2)0⇔－2＜x＜3，∴原不等式的解集为{x|－2＜x＜3}．课前探究学习课堂讲练互动(2)∵x＋12x－3≤1，∴x＋12x－3－1≤0，∴－x＋42x－3≤0，即x－4x－32≥0.此不等式等价于(x－4)x－32≥0且x－32≠0，解得x＜32或x≥4.∴原不等式的解集为xx＜32或x≥4.(3)由2x＋11－x＜0得x＋12x－1＞0，此不等式等价于x＋12(x－1)＞0，课前探究学习课堂讲练互动规律方法(1)解分式不等式关键是如何将它转化为同解的整式不等式，化未知为已知．做题时要体会这种转化的思想．(2)转化的依据是实数运算的符号法则，所以要将不等式一边先化为零．解得x＜－12或x＞1.∴原不等式的解集为xx＜－12或x＞1.课前探究学习课堂讲练互动【训练2】解下列不等式．(1)2x－13x＋1≥0；(2)2－xx＋3＞1.解(1)原不等式可化为2x－13x＋1≥0，3x＋1≠0，解得x≤－13或x≥12，x≠－13，∴x＜－13或x≥12，∴原不等式的解集为xx＜－13或x≥12.课前探究学习课堂讲练互动(2)法一原不等式可化为x＋3＞0，2－x＞x＋3或x＋3＜0，2－x＜x＋3，解得x＞－3，x＜－12或x＜－3，x＞－12，∴－3＜x＜－12，∴原不等式的解集为x－3＜x＜－12.课前探究学习课堂讲练互动法二原不等式可化为2－x－x＋3x＋3＞0，化简得－2x－1x＋3＞0，即2x＋1x＋3＜0，∴(2x＋1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜－12.∴原不等式的解集为x－3＜x＜－12.课前探究学习课堂讲练互动[思路探索]解答本题可先移项通分，将各因式最高次项系数化为正，再转化为与它同解的整式不等式求解．用穿针引线法求解集．【例3】题型三简单高次不等式的解法x＋12－xx－12x＋4≥0.解原不等式可化为x＋1x－2x－12x＋4≤0，此不等式等价于(x＋1)(x－2)(x－1)2(x＋4)≤0，且x≠1，x≠－4.分别令各个因式为零，可得根依次为－1,2,1，－4.在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图课前探究学习课堂讲练互动由x轴上的图像可得不等式的解集为{x|x－4，或－1≤x＜1，或1＜x≤2}．规律方法解简单的高次不等式时要特别注意偶次方根要“穿而不过”，也就是要“反弹”起来，遵循“奇穿偶回”的原则．课前探究学习课堂讲练互动解(1)各因式的根分别为0,1，－1，－2，其中1为二重根，－1为三重根．在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图【训练3】(1)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0；(2)3x－5x2＋2x－3≥2.∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1，或x≥0}．(2)原不等式可化为3x－5x2＋2x－3－2≥0，课前探究学习课堂讲练互动即2x－1x＋1x－1x＋3≤0，此不等式等价于(2x－1)(x＋1)(x－1)·(x＋3)≤0，且x≠1，x≠－3.令每个因式为零，可得根为12，－1,1，－3.在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图∴原不等式的解集为x|－3x≤－1，或12≤x＜1.课前探究学习课堂讲练互动(本题满分12分)汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？审题指导将文字语言翻译成数学语言，将不等关系转化为不等式问题求解．【例4】题型四一元二次不等式的简单应用课前探究学习课堂讲练互动[规范解答]由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1200＞0，(2分)解得x＞30，或x＜－40(不符合实际意义，舍去)，(4分)这表明甲车的车速超过30km/h.但根据题意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h.(6分)对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2000＞0，(8分)解得x＞40，或x－50(不符合实际意义，舍去)，(10分)这表明乙车的车速超过40km/h，即超过规定限速．(12分)课前探究学习课堂讲练互动【题后反思】解不等式应用题的步骤：(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；(3)求解不等式；(4)还原实际问题．课前探究学习课堂讲练互动国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品mt．按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的取值范围．使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.【训练4】课前探究学习课堂讲练互动所以y≥2400m×8%×78%，即－44≤x≤2.又0＜x≤8，所以x的取值范围是0＜x≤2.＝－1225m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)，解“税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为m(1＋2x%)t，总收购款为2400m(1＋2x%)元；“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入≥2400m×8%×78%.设税率调低后的“税收总收入”为y元，y＝2400m(1＋2x%)(8－x)%课前探究学习课堂讲练互动[错解]原不等式可化为x21，即(x－1)(x＋1)0，∴x－1或x1，∴原不等式的解集为{x|x－1，或x1