直线与双曲线的位置关系课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修2-1圆锥曲线与方程第二章2.3双曲线第3课时直线与双曲线的位置关系第二章典例探究学案2巩固提高学案3自主预习学案1自主预习学案•1．了解直线与双曲线的位置关系及其判定方法．•2．会求直线与双曲线相交所得的弦长、弦中点等问题．•3．了解双曲线的实际应用背景，体会建立数学模型解决实际问题的过程．•重点：双曲线的几何性质，直线与双曲线相交弦长问题．•难点：直线与双曲线相交弦长问题．•温故知新•回顾复习直线与椭圆的位置关系及讨论方法．•思维导航•想一想，怎样判断直线与双曲线的位置关系？若将直线与双曲线的方程联立消元得到一元二次方程，由Δ的值如何判断直线与双曲线的位置关系？直线与双曲线若只有一个公共点，直线与双曲线一定相切吗？•直线与双曲线的位置关系1．直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0．(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线__________，直线与双曲线C相交于__________．平行一点(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．•Δ0⇒直线与双曲线有__________公共点，此时称直线与双曲线__________；•Δ＝0⇒直线与双曲线有__________公共点，此时称直线与双曲线__________；•Δ0⇒直线与双曲线__________公共点，此时称直线与双曲线__________．两个相交一个相切没有相离2．弦长公式斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2__________＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2．|x1－x2|牛刀小试1．直线y＝13(x－72)与双曲线x29－y2＝1交点个数是()A．0B．1C．2D．4•[答案]B•[解析]直线与渐近线平行，•∴有一个交点．2．过双曲线x2－y22＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有()A．1条B．2条C．3条D．4条•[答案]C[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，由x＝3，x2－y22＝1.得y＝±2，∴|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．当直线l的斜率存在时，其方程为y＝k(x－3)，由y＝kx－3x2－y22＝1，得(2－k2)x2＋23k2x－3k2－2＝0．当2－k2≠0时，x1＋x2＝23k2k2－2，x1x2＝3k2＋2k2－2，|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋k223k2k2－22－12k2＋8k2－2＝1＋k216k2＋1k2－22＝41＋k2|k2－2|＝4，解得k＝±22，故这样的直线有3条．•3．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为________________________．•[答案]2x－y－15＝0[解析]设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x21－4y21＝4①x22－4y22＝4②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵P是线段AB的中点，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴y1－y2x1－x2＝x1＋x24y1＋y2＝2．∴直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为2x－y－15＝0．典例探究学案•直线与双曲线的位置关系已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围．(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．•[分析]要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方程组成方程组，对方程解的个数进行讨论．[解析]x2－y2＝4，y＝kx－1.消去y得，(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．①4－3k20，1－k2≠0.即－233k233，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②4－3k2＝0，1－k2≠0.即k＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点．③4－3k20，1－k2≠0.即k－233，或k233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．综上所述，当－233k－1，或－1k1，或1k233时，直线与双曲线有两个公共点；当k＝±1，或k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k－233，或k233时，直线与双曲线没有公共点．•[方法规律总结]1．直线与双曲线位置关系的判断方法：•(1)方程思想的应用•判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y(或x)．则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；二次项系数不等于0时，若Δ0则直线与双曲线有两个公共点，Δ＝0有一个公共点，Δ0无公共点．•(2)数形结合思想的应用•①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．•②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．•2．求直线与双曲线相交弦长，一般将两方程联立，消元化为一元二次方程，结合根与系数的关系求解．过双曲线x2－y23＝1的左焦点F1，作倾斜角为π6的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|＝________．•[答案]3[解析]双曲线焦点坐标为F1(－2,0)、F2(2,0)，直线AB的方程为y＝33(x＋2)，把该直线方程代入双曲线方程得，8x2－4x－13＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝12，x1x2＝－138．|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋13×122－4×－138＝3．•中点弦问题已知双曲线的方程为x2－y22＝1．试问：是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由．•[分析]不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾斜角不可能是90°．[解析]解法一：设被B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－y22＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0．∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)0．解得k32，且x1＋x2＝2kk－1k2－2．∵B(1,1)是弦的中点，∴kk－1k2－2＝1，∴k＝232．故不存在被点B(1,1)所平分的弦．解法二：设存在被点B平分的弦MN，设M(x1，y1)、N(x2，y2)．则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且x21－y212＝1，①x22－y222＝1.②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－12(y1＋y2)(y1－y2)＝0．∴kMN＝y1－y2x1－x2＝2，故直线MN：y－1＝2(x－1)．由y－1＝2x－1x2－y22＝1消去y得，2x2－4x＋3＝0，Δ＝－80．这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不存在．•[方法规律总结]中点弦问题：(一)可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；(二)可以用点差法和中点坐标公式求解．过点P(4,1)的直线l与双曲线x24－y2＝1相交于A、B两点，且P为AB的中点，求l的方程．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214－y21＝1，x224－y22＝1，两式相减得：14(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵P为AB中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2．∴y2－y1x2－x1＝1，即所求直线l的斜率为1，∴l方程为y－1＝x－4，即x－y－3＝0．•综合应用问题直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．•[解题思路探究]第一步，审题．•(1)审条件发掘解题信息．由l的方程可知直线l过定点(0,1)，直线l与双曲线右支交于两点，可利用方程根的分布讨论；审结论，求k的取值范围，可用数形结合讨论，也可通过方程讨论．•(2)存在性问题可先假设存在，依据条件求解．“以AB为直径的圆过F”的含义是FA⊥FB，可用向量或斜率进行转化．第二步，确定解题步骤．先将l与C的方程联立，消元化为一元二次方程，再依据l与C的右支交于不同两点，得知方程有大于22的两根，然后利用根与系数的关系求解k的取值范围，最后利用FA⊥FB和根与系数的关系列出k的方程，讨论方程解的个数后下结论．第三步，规范解答．[解析](1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后整理得，(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，故k2－2≠0，Δ＝2k2－8k2－20，－2kk2－20，2k2－20.解得k的取值范围为－2k－2．(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①式得x1＋x2＝2k2－k2，x1·x2＝2k2－2.假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(62，0)，则FA⊥FB，∴(x1－62)(x2－62)＋y1y2＝0，即(x1－62)(x2－62)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0．(1＋k2)x1x2＋(k－62)(x1＋x2)＋52＝0，∴(1＋k2)·2k2－2＋(k－62)·2k2－k2＋52＝0，化简得5k2＋26k－6＝0．解得k＝－6＋65，或k＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知k＝－6＋65使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．•[方法规律总结]已知直线与双曲线的位置关系求参数的值或取值范围时，(一)联立方程消元后用判别式、根与系数关系求解；(二)数形结合求解，注意平行于双曲线渐近线的直线与双曲线只有一个公共点．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→2(其中O为原点)，求k的取值范围．[解析](1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知得a＝3，c＝2，于是a2＋b2＝22，b2＝1，故双曲线C的方程为x23－y2＝1．(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0．由直线l与双曲线交于不同的两点，得1－3k2≠0，Δ＝62k2＋361－3k2＝361－k20.即k2≠13且k21．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝62k1－3k2，xAxB＝－91－3k2．由OA→·OB→2，得xAxB＋yAyB2．xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋2)(kxB＋2)＝(k2＋1)xAxB＋2k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)－91－3k2＋2k62k1－3k2＋2＝