2018届高考数学二轮复习专题二与第3讲平面向量课件文

第3讲平面向量高考定位1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真题感悟1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A.a⊥bB.|a|＝|b|C.a∥bD.|a||b|解析由|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，故a⊥b.答案A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.解析由题意得a＋b＝(m－1，3)，因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.答案73.(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD→＝2DC→，AE→＝λAC→－AB→(λ∈R)，且AD→·AE→＝－4，则λ的值为________.解析AB→·AC→＝3×2×cos60°＝3，AD→＝13AB→＋23AC→，则AD→·AE→＝13AB→＋23AC→·(λAC→－AB→)＝λ－23AB→·AC→－13AB→2＋2λ3AC→2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案3114.(2017·江苏卷)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π].(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1)∵a∥b，∴3sinx＝－3cosx，∴3sinx＋3cosx＝0，即sinx＋π6＝0.∵0≤x≤π，∴π6≤x＋π6≤76π，∴x＋π6＝π，∴x＝5π6.(2)f(x)＝a·b＝3cosx－3sinx＝－23sinx－π3.∵x∈[0，π]，∴x－π3∈－π3，2π3，∴－32≤sinx－π3≤1，∴－23≤f(x)≤3，当x－π3＝－π3，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x－π3＝π2，即x＝5π6时，f(x)取得最小值－23.考点整合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是OP→＝λ1OA→＋λ2OB→(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量OP→与向量OA→，OB→的关系是OP→＝12(OA→＋OB→).(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔GA→＋GB→＋GC→＝0⇔GxA＋xB＋xC3，yA＋yB＋yC3.4.平面向量的三个锦囊热点一平面向量的有关运算【例1】(1)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析(1)由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以a·b＝m×1＋1×2＝0，得m＝－2.(2)DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(AC→－AB→)＝－16AB→＋23AC→，∵DE→＝λ1AB→＋λ2AC→，∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案(1)－2(2)12探究提高对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.【训练1】(2017·衡阳二模)如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC→＝λAM→＋μBN→，则λ＋μ＝()A.2B.83C.65D.85解析法一如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM→＝1，12，BN→＝－12，1，AC→＝(1，1).∵AC→＝λAM→＋μBN→＝λ1，12＋μ－12，1＝λ－μ2，λ2＋μ，∴λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二以AB→，AD→作为基底，∵M，N分别为BC，CD的中点，∴AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋12AD→，BN→＝BC→＋CN→＝AD→－12AB→，因此AC→＝λAM→＋μBN→＝λ－μ2AB→＋λ2＋μAD→，又AC→＝AB→＋AD→，因此λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案D热点二平面向量的数量积命题角度1平面向量数量积的运算【例2－1】(1)(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝OA→·OB→，I2＝OB→·OC→，I3＝OC→·OD→，则()A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I3(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________.解析(1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOAF，而∠AFB＝90°，∴∠AOB与∠COD为钝角，∠AOD与∠BOC为锐角，根据题意，I1－I2＝OA→·OB→－OB→·OC→＝OB→·(OA→－OC→)＝OB→·CA→＝|OB→||CA→|·cos∠AOB0，∴I1I2，同理I2I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，∴OBBG＝GDOD，而OAAF＝FCOC，∴|OA→||OB→||OC→||OD→|，而cos∠AOB＝cos∠COD0，∴OA→·OB→OC→·OD→，即I1I3.∴I3I1I2.(2)法一如图，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t∈[0，1]，则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，所以DE→·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC→＝(1，0)，所以DE→·DC→＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，故DE→·DC→的最大值为1.法二如图，无论E点在哪个位置，DE→在CB→方向上的投影都是CB＝1，所以DE→·CB→＝|CB→|·1＝1，当E运动到B点时，DE→在DC→方向上的投影最大，即为DC＝1，所以(DE→·DC→)max＝|DC→|·1＝1.答案(1)C(2)11探究提高1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量.其次注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形.命题角度2平面向量数量积的性质【例2－2】(1)(2016·山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A.4B.－4C.94D.－94(2)(2017·哈尔滨模拟)平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝2，a＋b在a上的投影为5，则|a－2b|的模为()A.2B.4C.8D.16解析(1)∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×34|n|2×13＋|n|2＝0，解得t＝－4.(2)|a＋b|cos〈a＋b，a〉＝|a＋b|·（a＋b）·a|a＋b||a|＝a2＋a·b|a|＝16＋a·b4＝5；∴a·b＝4.又(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝16－16＋16＝16.∴|a－2b|＝4.答案(1)B(2)B探究提高1.求两向量的夹角：cosθ＝a·b|a|·|b|，要注意θ∈[0，π].2.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.3.求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(2)|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.【训练2】(1)(2015·福建卷)已知AB→⊥AC→，|AB→|＝1t，|AC→|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP→＝AB→|AB→|＋4AC→|AC→|，则PB→·PC→的最大值等于()A.13B.15C.19D.21(2)(2017·郴州二模)已知a，b均为单位向量，且(2a＋b)·(a－2b)＝－332，则向量a，b的夹角为________.解析(1)建立如图所示坐标系，则B1t，0，C(0，t)，AB→＝1t，0，AC→＝(0，t)，则AP→＝AB→|AB→|＋4AC→|AC→|＝t1t，0＋4t(0，t)＝(1，4).∴点P(1，4)，则PB→·PC→＝1t－1，－4·(－1，t－4)＝17－1t＋4t≤17－21t·4t＝13，当且仅当4t＝1t，即t＝12时取等号，故PB→·PC→的最大值为13.(2)设单位向量a，b的夹角为θ，则|a|＝|b|＝1，a·b＝cosθ.∵(2a＋b)·(a－2b)＝－332，∴2|a|2－2|b|2－3a·b＝－3cosθ＝－332，∴cosθ＝32，∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.答案(1)A(2)π6热点三平面向量与三角的交汇综合【例3】(2017·郑州质检)已知向量m＝(2sinωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(3cosωx，1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝3，sinB＝3sinA，求BA→·BC→的值.解(1)f(x)＝m·n＝23sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx＝3sin2ωx＋cos2ωx＝2sin2ωx＋π6.∵f(x)的最小正周期为π，∴T＝2π2|ω|＝π.∵ω＞0，∴ω＝1.(2)设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.∵f(B)＝－2，∴2sin2B＋π6＝－2，即sin2B＋π6＝－1，解得B＝2π3(B∈(0，π)).∵BC＝3，∴a＝3，∵sinB＝3sinA，∴b＝3a，∴b＝3.由正弦定理，有3sinA＝3sin2π3，解得sinA＝12.∵0＜A＜π3，∴A＝π6.∴C＝π6，∴c＝a＝3.∴BA→·BC→＝cacosB＝3×3×cos2π3＝－32.探究提高1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化