二项式定理教学PPT

二项式定理（第一课时）问题：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4＝?(a＋b)5＝?(a＋b)n＝?(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4＝(a＋b)3(a＋b)＝(a3＋3a2b＋3ab2＋b3)(a＋b)＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)a2ababb2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3a3a2bab2b3共有四项a3:a2b:同理，ab2有个；b3有个；每个括号都不取b的情况有一种，即种，相当于有一个括号中取b的情况有种，0C3C31C32C33C31C310C30C3C32C33所以a2b的系数是所以a3的系数是(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝a3＋a2b＋ab2＋b3(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4一般地，(a＋b)n＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)……(a＋b)＝an＋an-1b＋an-2b2＋an-3b3＋…＋an-rbr＋…＋bn0C3C31C32C33C44C40C41C42C431CnCn2Cn0Cn3Cnn该公式称为二项式定理。1）每一项的系数（r=0，1，2，…，n）叫做该项的二项式系数。2）叫做二项展开式的通项，表示第r+1项，记作Tr+1。其右端的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，共有n+1项。其中rnCrnCrbaCrnr-nrn-rrnCab3）若取a=1，b=x则得一个重要公式：(1+x)n=1+x+x2+…+xr+…+xn1CnCnnCn2rnC二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋Can-2b2＋…＋Can-rbr＋…＋Cbn通项公式（第r+1项）：Tr+1＝Can-rbr；其中C称为第r+1项的二项式系数。n0n1n2nrnnnrnr解：543223455554145323523254155055b5abb10ab10ab5aabCbaCbaCbaCbaCaCb)(a例1：展开(a+b)5例2：展开(1-x)n(1-x)n=Cn0-Cn1X+Cn2X2-…+(-1)nCnnXn解：解：∵a＝x，b＝－2，n＝10根据通项公式Tr＋1＝an－rbr得T5＝T4+1＝·x10－4·(－2)4＝＝3360x6它的二项式系数是二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋Can-2b2＋…＋Can-rbr＋…＋Cbn通项公式（第r+1项）：Tr+1＝Can-rbr；其中C称为第r+1项的二项式系数。n0n1n2nrnnnrnr123478910·x6·16＝2104C104C10Cnr例3、求(x－2)10的展开式中的第五项，并求出它的二项式系数。问题1，2小结二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋Can-2b2＋…＋Can-rbr＋…＋Cbn通项公式（第r+1项）：Tr+1＝C例4、求(x－2)10的展开式中x6项的系数。nran-rbr；称为第r+1项的二项式系数。nrnrnnn2n0n1解:(x－2）10的展开式的通项是Tr＋1＝123478910x10－r(－2)r＝(－1)r2r由题意知10－r＝6∴r＝4于是x6项的系数是(－1)4244C10＝16×＝3360其中Cx10－rCr10rC10问题2：你能否判断(3x2－)10的展开式中是否包含常数项？x1＋＋＋＋…＋＋…＋＝?1CnCn2Cn0Cn3CnnnCr问题1：解：根据二项式定理，取a=1,b=1(1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn∴Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n解：根据二项式定理，取a＝3x2，b＝－x1x1(3x2－)10x1∴的通项公式是Tr＋1＝(3x2)10－r(－)r＝·310－r·x20－2r·(－1)r·x－2r＝(－1)r·310－r··x20－25r令20－＝025r∴r＝8r∈N∴(3x2－)10x1的展开式中第9项为常数项。C10rC10rC10r二项式定理展开式中a与b是用“＋”连接的，即(a＋b)n＝an＋an－1b＋…＋an－rbr＋…＋bn，在实际运用时注意正确选择a、b。1CnCn0Cnn通项公式Tr+1＝Cnran-rbr是指第r＋1项，r+1项的二项式系数。nr其中C称为第（见例3）注意正确区分二项式系数与项的系数。（见例3）nCr