搜索
第29课时切线的性质和判定考点聚焦考点1切线的性质定理：圆的切线________于经过切点的半径．技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．考点聚焦归类探究回归教材第29课时┃切线的性质和判定考点2切线的判定定理：经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线．证圆的切线技巧：(1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．垂直垂直(2)如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．考点3切线长及切线长定理切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线________两条切线的夹角第29课时┃切线的性质和判定相等平分考点聚焦归类探究回归教材基本图形如图所示，点P是⊙O外一点，PA，PB切⊙O于点A，B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP第29课时┃切线的性质和判定考点聚焦归类探究回归教材考点4三角形的内切圆三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形三角形的内心三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．它是三角形______________的交点，三角形的内心到三边的________相等第29课时┃切线的性质和判定三条角平分线距离考点聚焦归类探究回归教材规律清单⊙I内切于△ABC，切点分别为D，E，F，如图．则(1)∠BIC＝90°＋12∠BAC；(2)△ABC三边长分别为a，b，c，⊙I的半径为r，则有S△ABC＝12r(a＋b＋c)；(3)(选学)△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，则内切圆半径r＝a＋b－c2第29课时┃切线的性质和判定考点聚焦归类探究回归教材归类探究探究一圆的切线的性质命题角度：1.已知圆的切线得出结论；2.利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．例1[2011·湛江]如图29－1，已知点E在Rt△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．第29课时┃切线的性质和判定图29－1考点聚焦归类探究回归教材第29课时┃切线的性质和判定解析(1)先连接OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行从而得证；(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半径．解：(1)证明：连接OD，∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC.又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC.考点聚焦归类探究回归教材第29课时┃切线的性质和判定方法点析“圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法．(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝BD2＋OD2.∵BE＝2，BD＝4,∴(BE＋OE)2＝BD2＋OD2，即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3，故⊙O的半径为3.考点聚焦归类探究回归教材探究二圆的切线的判定方法命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．第29课时┃切线的性质和判定考点聚焦归类探究回归教材例2[2013·湖州]如图29－2，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB︵的度数为120°，连接PB.(1)求BC的长；(2)求证：PB是⊙O的切线．图29－2第29课时┃切线的性质和判定考点聚焦归类探究回归教材第29课时┃切线的性质和判定解：(1)连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB＝60°.又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2.(2)证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB.∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°.∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB⊥BP.∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．考点聚焦归类探究回归教材方法点析在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．第29课时┃切线的性质和判定考点聚焦归类探究回归教材探究三切线长定理的运用命题角度：1.利用切线长定理计算；2.利用切线长定理证明．例3[2012·绵阳]如图29－3，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20cm，求△AOB的面积．图29－3第29课时┃切线的性质和判定考点聚焦归类探究回归教材第29课时┃切线的性质和判定解析(1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；(2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．解：(1)∵PA、PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°.在四边形APBO中，∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB＝360°－90°－90°－120°＝60°.考点聚焦归类探究回归教材第29课时┃切线的性质和判定(2)∵PA、PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB.∵OA＝OB，PO＝PO，∴△PAO≌△PBO.∴∠APO＝∠BPO＝12∠APB＝30°.∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°.∴OA＝OP×sin∠APO＝20×12＝10(cm)．在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝10cm，∴AD＝cos30°×OA＝32×10＝53(cm)，OD＝sin30°×OA＝12×10＝5(cm)．∴AB＝2AD＝103(cm)，∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×103×5＝253(cm2)．考点聚焦归类探究回归教材第29课时┃切线的性质和判定方法点析(1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．考点聚焦归类探究回归教材探究四三角形的内切圆命题角度：1.三角形的内切圆的定义；2.求三角形的内切圆的半径．例4[2012·玉林]如图29－4，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE︵(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为()A．rB.32rC．2rD.52r第29课时┃切线的性质和判定C考点聚焦归类探究回归教材图29－4第29课时┃切线的性质和判定解析连接OD、OE，则∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD＝BE＝OD＝OE＝r.根据切线长定理得出MP＝DM，NP＝NE,Rt△MBN的周长为：MB＋NB＋MN＝MB＋BN＋NE＋DM＝BD＋BE＝r＋r＝2r，故选C.考点聚焦归类探究回归教材方法点析解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．第29课时┃切线的性质和判定考点聚焦归类探究回归教材与切线有关的辅助线的添加教材母题如图29－5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．回归教材图29－5第29课时┃切线的性质和判定考点聚焦归类探究回归教材证明证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线．∴OC⊥AB.∴AB是⊙O的切线．第29课时┃切线的性质和判定中考预测如图29－6，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若PD＝3，求⊙O的直径．考点聚焦归类探究回归教材图29－6第29课时┃切线的性质和判定解：(1)证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．考点聚焦归类探究回归教材第29课时┃切线的性质和判定(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD＋PD.又∵OA＝OD，∴PD＝OA.∵PD＝3.∴2OA＝2PD＝23.∴⊙O的直径为23.考点聚焦归类探究回归教材