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第6课时一次二元方程及其应用考点聚焦考点1一元二次方程及其应用考点聚焦归类探究回归教材第6课时┃一元二次方程及其应用含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程．一般形式：____________________．注意：在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0.一2ax2＋bx＋c＝0(a≠0)考点聚焦归类探究回归教材考点2一元二次方程的四种解法直接开平方法适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程因式分解法基本思想把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0方法规律常用的方法主要是运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式等因式分解第6课时┃一元二次方程及其应用考点聚焦归类探究回归教材公式法求根公式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0,且b2－4ac≥0时，则x1，2＝______________公式法解方程的一般步骤(1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；(2)确定a，b，c的值；(3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式，得x1，x2；若b2－4ac0，则方程无实数根第6课时┃一元二次方程及其应用－b±b2－4ac2a考点聚焦归类探究回归教材配方法定义通过配成完全平方的形式解一元二次方程配方法解方程的步骤①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平方法解方程第6课时┃一元二次方程及其应用一元二次方程根的判别式根的判别式定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac.也把它记作Δ＝b2－4ac判别式与根的关系(1)b2－4ac0⇔方程有____________的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有____________的实数根；(3)b2－4ac0⇔方程________实数根防错提醒在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件考点聚焦归类探究回归教材考点3一元二次方程的根的判别式第6课时┃一元二次方程及其应用两个不相等两个相等没有考点聚焦归类探究回归教材考点4(选学)一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.误区警示：利用一元二次方程根与系数的关系时，要注意判别式Δ≥0.baca第6课时┃一元二次方程及其应用考点5一元二次方程的应用考点聚焦归类探究回归教材应用类型等量关系增长率问题(1)增长率＝增量÷基础量；(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b利率问题(1)本息和＝本金＋利息；(2)利息＝本金×利率×期数销售利润问题(1)毛利润＝售出价－进货价；(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用；(3)利润率＝利润÷进货价第6课时┃一元二次方程及其应用归类探究探究一一元二次方程的有关概念命题角度：1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念．考点聚焦归类探究回归教材第6课时┃一元二次方程及其应用考点聚焦归类探究回归教材例1[2013·牡丹江]若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是()A．2018B．2008C．2014D．2012第6课时┃一元二次方程及其应用A解析∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋5＝0的一个根，∴a·12＋b·1＋5＝0，∴a＋b＝－5，∴2013－a－b＝2013－(a＋b)＝2013－(－5)＝2018.考点聚焦归类探究回归教材探究二一元二次方程的解法命题角度：1．直接开平方法；2．配方法；3．公式法；4．因式分解法．例2解方程：2(x-3)＝3x(x-3).第6课时┃一元二次方程及其应用解析可用因式分解法或公式法．考点聚焦归类探究回归教材第6课时┃一元二次方程及其应用解：解法一(因式分解法)：(x－3)(2－3x)＝0，x－3＝0或2－3x＝0，所以x1＝3，x2＝23.解法二(公式法)：2x－6＝3x2－9x，3x2－11x＋6＝0，a＝3，b＝－11，c＝6，b2－4ac＝121－72＝49，x＝11±492×3，∴x1＝3，x2＝23.考点聚焦归类探究回归教材方法点析利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失去一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．第6课时┃一元二次方程及其应用命题角度：1．判别一元二次方程根的情况；2．求一元二次方程字母系数的取值范围．例3[2013·北京]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．考点聚焦归类探究回归教材探究三一元二次方程根的判别式第6课时┃一元二次方程及其应用考点聚焦归类探究回归教材第6课时┃一元二次方程及其应用解析(1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；(2)找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意的k值．解：(1)根据题意得：Δ＝4－4(2k－4)＝20－8k＞0，解得k＜52；(2)由k为正整数，得到k＝1或2，利用求根公式表示出方程的解为x＝－1±5－2k.∵方程的解为整数，∴5－2k为完全平方数，则k的值为2.考点聚焦归类探究回归教材方法点析(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件．第6课时┃一元二次方程及其应用考点聚焦归类探究回归教材探究四(选讲)一元二次方程根与系数的关系命题角度：1．利用根与系数的关系计算两根之和与两根之积；2．利用根与系数的关系求有关两根的代数式的值；3．利用根与系数的关系求方程中未知系数的值．例4[2013·荆州]已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0.(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1－x2|＝2，求k的值．第6课时┃一元二次方程及其应用考点聚焦归类探究回归教材第6课时┃一元二次方程及其应用解析(1)确定判别式的范围即可得出结论；(2)根据根与系数的关系表示出x1＋x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可．解：(1)证明：①当k＝0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，∵Δ＝[－(3k－1)]2－4k×2(k－1)＝(k－1)2≥0，∴无论k为何实数，方程总有实数根．考点聚焦归类探究回归教材第6课时┃一元二次方程及其应用(2)∵此方程有两个实数根x1，x2，∴x1＋x2＝3k－1k，x1x2＝2（k－1）k.∵|x1－x2|＝2，∴(x1－x2)2＝4，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝4，即9k2－6k＋1k2－4×2（k－1）k＝4，解得k＝1或k＝－13.考点聚焦归类探究回归教材探究五一元二次方程的应用命题角度：1．用一元二次方程解决变化率问题；2．用一元二次方程解决商品销售问题．例5[2013·淮安]小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装．第6课时┃一元二次方程及其应用考点聚焦归类探究回归教材第6课时┃一元二次方程及其应用解析根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出方程，解出即可．解：设购买了x件这种服装，根据题意得出：[80－2(x－10)]x＝1200，解得x1＝20，x2＝30，当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去．答：她购买了20件这种服装．根的判别式作用大教材母题无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．回归教材考点聚焦归类探究回归教材解方法一：原方程可化为x2－5x＋6－p2＝0.方程根的判别式为Δ＝(－5)2－4(6－p2)＝1＋4p2，对任何实数值p，有1＋4p20，∴方程总有两个实数根x1＝，x2＝，且两个根不相等．5＋1＋4p225－1＋4p22第6课时┃一元二次方程及其应用考点聚焦归类探究回归教材方法二：由p2＝(x－3)(x－2)＝x2－5x＋6＝x2－5x＋522＋6－522＝x－522－14，得x－522＝p2＋14，无论p取何值，p2＋14≥14，因此x＝52±p2＋14.[点析]解一元二次方程有配方法、公式法和因式分解法，一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．第6课时┃一元二次方程及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．第6课时┃一元二次方程及其应用解析(1)先计算出Δ＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；(2)先利用公式法求出方程的解为x1＝k，x2＝k＋1，然后分类讨论：设AB＝k，AC＝k＋1，则当AB＝BC或AC＝BC时，△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．考点聚焦归类探究回归教材解：(1)证明：∵Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋k)＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，得x1＝k，x2＝k＋1.当AB＝k，AC＝k＋1，且AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＝5；当AB＝k，AC＝k＋1，且AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＋1＝5，解得k＝4，所以k的值为5或4.第6课时┃一元二次方程及其应用