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第7课时一元二次方程第7课时┃考点聚焦考点聚焦考点1一元二次方程的概念及一般形式考点聚焦归类探究回归教材一元二次方程定义含有________个未知数，并且未知数最高次数是________的整式方程一般形式________________防错提醒在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0一2ax2＋bx＋c＝0(a≠0)第7课时┃考点聚焦考点2一元二次方程的四种解法直接开平方法适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程因式分解法基本思想把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0方法规律主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式法因式分解考点聚焦归类探究回归教材第7课时┃考点聚焦公式法求根公式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0,且b2－4ac≥0时，则x1，2＝公式法解方程的一般步骤(1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；(2)确定a，b，c的值；(3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式，得x1，x2；若b2－4ac0，则方程无实数根配方法定义通过配成完全平方的形式解一元二次方程配方法解方程的步骤①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平方法解方程考点聚焦归类探究回归教材第7课时┃考点聚焦考点3一元二次方程的根的判别式一元二次方程根的判别式根的判别式定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac判别式与根的关系(1)b2－4ac0⇔方程有______________的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有____________的实数根；(3)b2－4ac0⇔方程________实数根防错提醒在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件两个不相等两个相等没有考点聚焦归类探究回归教材第7课时┃考点聚焦考点4一元二次方程的应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率＝增量÷基础量；(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b利率问题(1)本息和＝本金＋利息；(2)利息＝本金×利率×期数销售利润问题(1)毛利润＝售出价－进货价；(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用；(3)利润率＝利润÷进货价考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念．探究一、一元二次方程的有关概念归类探究第7课时┃归类探究例1．已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是________．－1考点聚焦归类探究回归教材第7课时┃归类探究解析把x＝1代入(m－1)x2＋x＋1＝0，得(m－1)×12＋1＋1＝0，解得m＝－1.考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．直接开平方法；2．配方法；3．公式法；4．因式分解法．探究二、一元二次方程的解法第7课时┃归类探究例2．[2013•无锡]解方程：x2＋3x－2＝0.考点聚焦归类探究回归教材第7课时┃归类探究方法点析利用因式分解法解方程，当等号两边有相同的含未知数的因式时，不能直接约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误，所以应通过移项，提取公因式的方法求解．解析通过对方程的观察发现此题直接应用公式法x＝－b±b2－4ac2a解比较方便．解：∵Δ＝32－4×1×(－2)＝17，∴x＝－3±172，∴x1＝－3＋172，x2＝－3－172.考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．判别一元二次方程根的情况；2．求一元二次方程字母系数的取值范围．探究三、一元二次方程根的判别式第7课时┃归类探究例3．[2013•北京]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．考点聚焦归类探究回归教材第7课时┃归类探究解析解决第(2)问时一定要注意与前一问呼应，即综合确定k的取值范围为“0k52(且k为整数)”，这样能进一步得出k的两个整数值1，2，为后续的分类讨论奠定了基础．解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.∵方程有两个不等的实根，∴20－8k0，∴k52.(2)∵k为正整数，∴0k52(且k为整数)，即k为1或2，∴x1，2＝－1±5－2k.∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．当k＝1时，5－2k＝3(舍去)；当k＝2时，5－2k＝1.∴k＝2.考点聚焦归类探究回归教材第7课时┃归类探究方法点析(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．用一元二次方程解决增长率问题．2．用一元二次方程解决商品销售问题．探究四、一元二次方程的应用第7课时┃归类探究例4．[2013•淮安]小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？考点聚焦归类探究回归教材第7课时┃归类探究解析根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出方程求出即可．解：设购买了x件这种服装，根据题意得[80－2(x－10)]x＝1200，解得：x1＝20，x2＝30，当x＝30时，80－2(30－10)＝40(元)＜50元，不合题意舍去．答：她购买了20件这种服装．考点聚焦归类探究回归教材教材母题根的判别式作用大第7课时┃回归教材k取什么值时，方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？求这时方程的根．回归教材考点聚焦归类探究回归教材第7课时┃回归教材解析∵方程有两个相等的实数根，∴(－k)2－4×1×4＝0，即k2＝16.解得k1＝4，k2＝－4.把k1＝4代入x2－kx＋4＝0，得x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2；把k2＝－4代入x2－kx＋4＝0，得x2＋4x＋4＝0，解得x1＝x2＝－2.考点聚焦归类探究回归教材第7课时┃回归教材点析(1)要判定某个一元二次方程是否有实数解或有几个实数解时，常用一元二次方程根的判别式判定．(2)遇到含有字母的一元二次方程时，在实数范围内首先应有Δ≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑二次项系数是否为0.考点聚焦归类探究回归教材第7课时┃回归教材中考预测若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A．k＞－1B．k＜1且k≠0C．k≥－1且k≠0D．k＞－1且k≠0D考点聚焦归类探究回归教材第7课时┃回归教材解析∵一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝4＋4k＞0，且k≠0，解得：k＞－1且k≠0.故选D.考点聚焦归类探究回归教材