第五章-条件平差

1第五章条件平差2上一章内容回顾参数个数平差方法数学模型一般式ｕ=0条件平差ｕ=t间接平差0＜ｕ＜t附有参数的条件平差ｕ＞t附有限制条件的间接平差111200ˆ0rnrnrDQAAL,1,,1,120ˆˆnnttnLBXdDQ0,,1,,1,120ˆˆ0cnncuucALBXADQ111ˆˆntnntdBLX11120ˆ0sususxDQCCX30,1,,1,1ˆˆˆ,nnttnLBXdVBxllBXdL01110,0ˆ0rnrnrAVWWALAAAL000,,1,,1,1ˆˆˆ00,cnncuucALBXAAVBxWWALBXA01110ˆˆˆ111ˆ,ˆ0,ˆˆˆ0ntnntxxxsususVBxllBXdLCxWWCXCxdBLXCCX将函数模型转换成改正数V的表达式为：4条件平差原理；各种平差问题条件方程的建立；精度评定；条件平差公式汇编和平差示例。本章主要介绍以下几个内容：5通过学习，要掌握以下：1）按条件平差的方法，求平差值；2）按条件平差的方法，求平差值函数的方差。65-1条件平差原理条件平差就是:1)建立条件方程作为函数模型(?);2)观测值的方差阵为随机模型(?);3)然后利用最小二乘准则(?);4)求平差问题的唯一解(?)。7条件方程?观测值的权阵?最小二乘原则?求唯一解?8条件极值----拉格朗日乘数法91012324ˆˆˆ0ˆˆ0ABhhhHHhh12324040vvvvv1234112,1,,223pppp例5-2(P75):就是一个求条件极值问题。222211223344minpvvpvpvpvpv110AVW1121223PdiagminTVPV123411100001014vvvv常常把条件式写成矩阵形式：又如何求条件极值？12条件方程改正数条件式0ˆ0ALA0AVW0WALA一、基础方程及其解13按求条件极值的拉格朗日乘数法，设乘数为K（称联系数）。思考K的个数？（行？列？）构成新函数：0AVWminTVPV2()minTTVPVKAVW14矩阵的微分：1212...,...,()TTnniiXxxxYyyyYfX111122221212...............nnnnnnyyyxxxyyyYxxxdYdXdXXyyyxxx若有则Y的全微分由下式给出15(1):,;(2):,()()3()()()2TTTTTTTTTTTTFAYdFdYAdXdXFYZZYdFdYZdZYdZdYYZdXdXdXdXdXFVPVVPVPVVdFVPPVVPdV则：则：（）：则：特别地16下面按拉格朗日乘数法求条件平差的极值：条件平差就是：要求函数VTPV在AV+W=0下的极小值。为此，组成新函数：将对V求一阶导数，并令其等于零，得：两边转置，得：2TTVPVKAVW（）220TTdVPKAdVTPVAK17用P-1左乘两端，得改正数V的计算公式：上式称为改正数方程。将得到的V回代到条件式中：上式称为条件平差的法方程。1TTVPAKQAK0TAQAKWTPVAK0AVW18令法方程的系数阵为:法方程系数阵的特点：1）是一个对称的方阵；2）是一个r阶满秩方阵，且可逆；则,法方程又可写为:故，可得联系数K的唯一解：rnnrnnrrTaaNQAA()()TaaRNRAQARAr0aaNKW1aaKNW19通常将:以上两组方程称为条件平差的基础方程。10TAVWVPAK20条件平差的过程:1TVPAK0TAQAKW0LLAVWpˆLLV建立:组成:代入:回代:21123411100001014vvvv1121223Pdiag那么，回头再看前面的例题：求V、Lˆ？22二、按条件平差求平差值的计算步骤及示例条件平差的计算步骤：（1）根据平差问题（网形），确定观测总数ｎ，必要观测数t以及多余观测数r（条件数）；（2）正确列出r个函数独立的线性条件式；（3）根据条件式的系数A，闭合差W以及观测值的协因数阵Q组成法方程；（4）解算法方程，求出联系数K值；（5）将K代入改正数方程，求出V；（6）由L+V求出平差值；（7）用平差值重新列出平差值条件方程式，看其是否满足，以检验平差计算的正确性。2301231231231231011022033ˆˆˆ18009011190,1111,3390,3333421217ˆ780906593837TTaaTTLLLvvvvvAvPPPPINAPAAAKKVQAKLvLLVLvLv例5-1.P7424123241234123412341ˆˆˆ0ˆˆ01110000111411,11112,1,2,1.520000100,((2,1,2,1.5))00200001.55112.5ABiiTaahhhHHhhvvvvCPsSSSSpPPPPPdiagNAPA1114510012.540.351.740.71.40.72.6()ˆ1.00471.51742.51271.5174ˆˆˆ11.0083,12.5257.abaaTTTCADAkkkkVPAKmmLLVmmmmHHLmHHLLm例5-2.P7525课堂思考题：P225.1.01、5.1.02、5.1.03作业：P235.1.06、5.1.0726上节内容回顾：改正数条件式观测值的协方差阵法方程改正数方程0AVW21200DPQ0aaNKWrnnrnnrrTaaNQAA1TTVPAKQAK10TAVWVPAK条件平差的基础方程：27关键在于建立正确的数学模型！组、解法方程（可利用MATLAB软件方便、快速的求解！）。如（P90）：110010000111000010011010100078631.100000001.700000002.300000002.700000002.400000001.400000002.6AWQ285-2条件方程条件平差中，至为重要的是正确地列出条件式。条件方程的特点：个数等于多余观测数r个；且这r个条件方程彼此线性无关；形式不唯一，优先选用形式简单、易于列立的条件方程。测量中常见的几何模型有：水准网（三角高程）、三角网（测角网、测边网、边角网）、导线网等。29一.水准网条件方程必要观测数的确定：1）网中有已知水准点时，必要观测数就等于网中待定点的个数；2）若没有已知水准点，则必要观测数等于待定点的个数减1；条件方程的个数：等于多余观测数=观测总数-必要观测数。条件方程一般是依两种思路建立的，即：1）沿水准路线的闭合环确定几何关系；2）沿附合路线来确定几何关系。30课堂思考题：P245.2.085.2.095.2.10若是由三角高程路线构成的网，又怎样？31二、测角网条件方程网中必要观测数？测角网的基本条件方程类型？32三角网的基本图形33•例：ABP1P2P3P4P5P6P7P8三种基本图形构成：单三角形、大地四边形、中点多边形。34①必要观测数的确定：t=2n（n为待定点的个数）②条件式的个数：r=n-t③观测方程的类型：图形条件、圆周条件、极条件三种。35n=?t=?r=?36•例：∆∆n=?t=?r=?37基本图形的条件方程1）单三角形(r=1)：一个图形条件。abc0ˆˆˆ1800abc图形条件（多边形的内角和条件）式为：38例如：0222ˆˆˆ1800abc0111ˆˆˆ1800abca1b1c1a2b2c2图形条件式为：392）大地四边形(r=4)：三个图形条件，一个极条件（边长条件）。05678ˆˆˆˆ1800LLLL01234ˆˆˆˆ1800LLLL03456ˆˆˆˆ1800LLLL123456788ABCD23574672ˆˆˆˆsinsinsinˆˆˆˆsinsinsinABABSLLLLSLLLL（）（）B'140思考：1）极条件形式是否唯一？2）极条件的组成有何规律？413）中点n多边形(r=n+2)：n个图形条件，一个极条件，一个圆周条件（水平条件）。12345678910111213141501211034120561307814091015ˆˆˆ1800ˆˆˆ1800ˆˆˆ1800ˆˆˆ1800ˆˆˆ1800LLLLLLLLLLLLLLL01112131415ˆˆˆˆˆ3600LLLLL13579246810ˆˆˆˆˆsinsinsinsinsin1ˆˆˆˆˆsinsinsinsinsinLLLLLLLLLL42a1b1c1a2b2c2a3b3c3圆周条件（水平条件）:43a1b1c1a2b2c2c3a3b3极条件（边长条件）:极条件（边长条件）就是指由不同路线推算得到的同一边长的长度应相等。44•例5-4（P79）45例5-5.46•例：∆∆n=?t=?r=?类型？例:下图测角网47极条件的线性化135246ˆˆˆsinsinsin1ˆˆˆsinsinsinLLLLLL如下极条件：48135246113355224466135351124624613546ˆˆˆsinsinsin1ˆˆˆsinsinsinsin)sin()sin()1sin()sin()sin()sinsinsinsinsin(1)cossinsinsinsinsinsinsinsinsin(sinsinLLLFLLLLvLvLvLvLvLvLLLLLLvLLLLLLLLLLL（22221356622461)cos......sinsinsinsin1()cossinsinsinLvLLLLLvLLL4913513512122461246213524613524611223344sinsinsinsinsinsincoscossinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin......(1)sinsinsinsinsinsinsinsinsin[LLLLLLLLvvLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLctgLvctgLvctgLvctgLv5566135246112233445566246135]sinsinsin(1)sinsinsinsinsinsin(1)0sinsinsinctgLvctgLvLLLLLLctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvctgLvLLLLLL即：501122