函数对称性问题

1简析函数对称性问题函数图象的对称性体现了数学对称美。函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，也是高考的重点。本文从两方面探讨函数的对称性。命题1、函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2bax对称。特别地，当a=-b时，函数y=f(-b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b对称。推论1、函数()yfax与函数()yfbx的图象关于直线2bax对称证明：()[()]ayfaxfx,()[()]byfbxfx所以，将函数()yfx的图象向左平移||a个单位得()yfax的图象;将函数()yfx的图象向右平移||b个单位得函数()yfbx的图象,而()yfx与()yfx的图象关于y轴对称，可得两函数图象关于直线2bax对称。记忆技巧：令axbx，易得2bax，即对称轴方程。命题2、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2abx对称。反之亦然。推论2、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+mx)=f(b-mx)，(0)m，则函数y=f(x)的图象关于直线2abx对称。反之亦然。命题3、若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点(,)22abc成中心对称图形。下面举例说明其应用。[例1]函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于__________对称解：由命题1知，两函数图象关于3112x,即关于直线x=1对称。[例2]若方程f(3+2x)=0有三个根，则方程f(1-2x)=0有_____个根，两方程的所有的根之和为______解：设12(32),(12)yfxyfx,由推广1知，两函数图象关于131222x对称，故两函数图象与x轴交点个数相同，方程f(1-2x)=0也有三个根，这六个跟之和为1632.[例3]函数y=f(x)对一切x满足f(x+a)=f(b-x)（1）若方程f(x)=0恰有2n(nN)个根，则这些根的和为多少？2（2）若方程恰2n+1(nN)个根，则这些根的和为多少？解：由命题2知，y=f(x)图象关于2abx对称。（1）若方程f(x)=0恰有2n个根时，由于方程的根在x轴上对应点关于2abx对称，所以，mmxxab,故2()()2nSabnab.（2）若方程f(x)=0恰有2n+1个根时，则方程必有一根为2abx，另外2n个根在x轴上对应点关于2abx对称，故211(21)()()()22nnabSnab.[例4]函数1()1xfxx，（1）证明函数的图象关于(-1,-1)对称。（2）求f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)的值.解：因为12()111xfxxx，由1()fxx的对称中心（0，0），平移可得1()1xfxx对称中心(-1,-1)，由命题3知，f(x)+f(-x-2)=-2,则f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)=3[(2)(0)]3(2)6ff.补充，供参考1、函数自身对称性命题1函数)(xfy的图像关于直线x＝a对称的充要条件是)()(xafxaf或)2()(xafxf。证明（略）推论函数)(xfy的图像关于y轴对称的充要条件是)()(xfxf。命题2函数)(xfy的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是bxafxf2)2()(证明（略）推论函数)(xfy的图像关于原点O对称的充要条件是0)()(xfxf偶函数、奇函数分别是命题1，命题2的特例。命题3（1）若函数)(xfy的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（ba），则)(xfy是周期函数，且ba2是其一个周期。3证明：函数)(xfy的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称，则(2)()2faxfxc，(2)()2fbxfxc，所以[2()]([2(2)]fabxfabx2[(2)]cfbx2(2)cfbx2[2()]ccfx()fx，所以ba2是它的一个周期。（2）、若一个函数的图象有两条不同的对称轴，分别为x=m，x=n，那么这个函数是周期函数。证：因为函数的对称轴为x=m，x=n(m≠n)，则()()fmxfmx(1)，()()fnxfnx(2)，分别将x=m-x，x=n-x代入(1)(2)，则有(2)()fmxfx，(2)()fnxfx，则[2()](22)fxmnfmxn(2)()fnxfx，所以()yfx是周期函数，周期为2(m-n)。（3）若函数)(xfy的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（ba），则)(xfy是周期函数，且ba4是其一个周期。证明：因为函数)(xfy的图像关于点A（a，c）成中心对称，所以xbcxafxf2,2)2()(用代x得：(*)2)2(2)2(cxbafxbf又因为函数)(xfy的图像关于直线bx成轴对称，所以)()2(xfxbf代入（*）得：xxbaxbafcxf代用)(2(**),)(22)(得xbafcxbaf)(42)(2代入（**）得：)(,)(4)(xfyxbafxf故是周期函数，且ba4是其一个周期。42.不同函数对称性命题4函数)2(2)(xafbyxfy与的图像关于点),(baA成中心对称。证明：设点)(),(00xfyyxP是图像上任一点，则)(00xfy。点),(00yxP关于点),(baA的对称点为)2,2('00ybxaP，此点坐标满足)2(2xafby，显然点)2,2('00ybxaP在)2(2xafby的图像上。同理可证：)2(2xafby图像上关于点),(baA对称的点也在)(xfy的图像上。推论函数)(xfy与)(xfy的图像关于原点成中心对称。命题5函数)(xfy与)2(xafy的图像关于直线ax成轴对称。证明设点),(00yxP是)(xfy图像上任意一点，则)(00xfy。点),(00yxP关于直线ax的对称点为),2('00yxaP，显然点),2('00yxaP在)2(xafy的图像上。同理可证：)2(xafy图像上关于直线ax对称的点也在)(xfy图像上。推论函数)(xfy与)(xfy的图像关于直线y轴对称。命题6①函数)(xfy与)(yafxa的图像关于直线ayx成轴对称。②函数)(xfy与)(ayfax的图像关于直线ayx成轴对称。现证命题6中的②设点),(00yxP是)(xfy图像上任一点，则)(00xfy。记点),(00yxP关于直线ayx的对称点),('11yxP，则axyyax0101,，所以axyyax1010,代入)(00xfy之中得)(11yafax。所以点),('11yxP5在函数)(ayfax的图像上。同理可证：函数)(ayfax的图像上任一点关于直线ayx的轴对称点也在函数)(xfy的图像上。故命题6中的②成立。推论函数)(xfy的图像与)(yfx的图像关于直线yx成轴对称。