数值分析试题及答案

武理数值分析考试试题纸（A卷）课程名称数值分析专业年纪一、计算题（本题满分100分，共5小题，每小题20分）1．已知函数表x-1012f(x)0-1215(1)求f(x)的三次Lagrange型插值多项式及其插值余项（要求化成最简形式）.(2)求f(x)的Newton插值多项式（要求化成最简形式）.2.已知A=[212013612]，求‖A‖1，‖A‖∞，A的LU分解.3.叙述m阶代数精度的定义，写出求∫f(x)dxba的Simpson公式，并验证Simpson公式的代数精度为3阶.4.设矩阵A=012α11，求当α为何值时，解线性方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛.5.叙述最小二乘法的基本原理，并举例说明其应用.参考答案一、计算题1、解：（1）L3(x)=l0(x)y0+l1(x)y0+l2(x)y2+l3(x)y3=(x−0)(x−2)(x−2)(−1−0)(−1−1)(−1−2)×0+(x+1)(x−1)(x−2)(0+1)(0−1)(0−2)×(−1)+(x+1)(x−0)(x−2)(1+1)(1−0)(1−2)×2+(x+1)(x−0)(x−1)(2+1)(2−0)(2−1)×15=x3+2x2−1R3(x)=f(x)−L3(x)=f(4)(ε)4!ω4(x)(2)均差表如下：N(x)=f(x0)+f,x0,x1-(x−x0)+f,x0,x1,x2-(x−x0)(x−x1)+f,x0,x1,x2,x3-(x−x0)(x−x1)(x−x2)=0+(−1)(x+1)+2×(x+1)(x−0)+1×(x+1)(x−0)(x−1)=x3+x2−12、解：‖A‖1=max1≤j≤3∑|aij|3i=1=2+0+6=8‖A‖∞=max1≤i≤3∑|aij|3j=1=6+1+2=9A=LU=[1l211l31l321][u11u12u13u22u23u33]=[212013612]由u11=2u12=1u13=2l21=0u22=1u23=3l31=3l32=−2u33=2xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差x0=-10x1=0-1-1x2=1232x3=2151351所以A=LU=[1013−21][212132]3.解：定义：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次的多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。∫f(x)dxba的Simpson公式：S=b−a60f(a)+4f.a+b2/+f(b)1验证代数精度：当f(x)=1时，左边积分=∫1dxba=b−a,右边S=b−a6,1+4+1-=b−a=左边当f(x)=x时，左边积分∫xdxba=12(b2−a2)右边S=b−a60a+4×a+b2+b1=12(b2−a2)=左边当f(x)=x2时，左边积分∫x2dxba=13(b3−a3)右边S=b−a6[a2+4×.a+b2/2+b2]=13(b3−a3)=左边当f(x)=x3时，左边积分∫x3dxba=14(b4−a4)右边S=b−a6[a3+4×.a+b2/3+b3]=14(b4−a4)=左边当f(x)=x4时，左边积分∫x4dxba=14(b5−a5)右边S=b−a6[a4+4×.a+b2/4+b4]≠左边故Simpson公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立，而对四次多项式不成立，所以Simpson公式具有三次代数精度。4.解;Ax=b⇔{x1+2x2=b12x1+x2=b2其Gauss-Seidel迭代格式为{x1(k+1)=b1−2x2(k)x2(k+1)=b2−2x1(k)(k=0,1,2…)∴迭代矩阵B=00−2−201该迭代发收敛的充要条件是矩阵B的谱半径ρ(B)1|λI−B|=|λ22λ|=λ2−2λ=0,特征根λ1，2=±√2α∴ρ(B)=√2α1⇒𝛼12∴当α12时，解线性方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛。5.答：在函数的最佳平方逼近中f(x)∈C,a,b-，如果f(x)只在一组离散点集{xi，i=0,1,…,m}上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据{(xi，yi),i=0,1,…,m}的曲线拟合，这里yi=f(xi),i=0,1,…,m,要求一个函数y=S∗(x)与所给数据{(xi，yi),i=0,1,…,m}拟合，若记φ0(x),φ1(x),…,φn(x)是C,a,b-上线性无关函数族，在φ=span*φ0(x),φ1(x),…,φn(x)+中找一函数S∗(x)，使误差平方和‖δ‖22=∑δi2=mi=0∑,S∗(xi)−yi-2mi=0=minS(x)∈φ∑,S(xi)−yi-2mi=0这里S(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+⋯+anφn(x)(n𝑚).这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就成为曲线拟合的最小二乘法。举例说明：测得铜导线在温度(℃)时的电阻如表6-1，求电阻R与温度T的近似函数关系。i0123456(℃)19.125.030.136.040.045.150.076.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10解画出散点图如下图所示，可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为列表如下i019.176.30364.811457.330125.077.80625.001945.000230.179.25906.012385.425336.080.801296.002908.800440.082.351600.003294.000545.183.902034.013783.890650.085.102500.004255.000245.3565.59325.8320029.445正规方程组为解方程组得故得R与T的拟合直线为利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5℃时，铜导线无电阻。