光束法平差模型

旋转矩阵四元素法和光束法平差模型1.旋转矩阵的四元素表示法：由于利用传统的旋转矩阵表示法解算时,旋转阵中的三角函数存在多值性和奇异性,经常导致迭代计算的次数增加,甚至会出现不收敛的情况。Pope从四维代数出发,提出用四个代数参数d,a,b,c构成R矩阵,Hinsken导出了一整套公式,即pope-hinsken算法(简称P-H算法),使pope参数在实际摄影测量中得到了应用。设四个参数d,a,b,c服从下列条件（如式3-1）:12222cbad………………（式3-1）用这四个参数构造下列矩阵（如式3-2）:dabcadcbbcdacbadPdabcadcbbcdacbadaQ…………（式3-2）可以知道P,Q矩阵都是正交矩阵，从而可知（式3-3）：0000001RPQT…………（式3-3）因IPQTXTTTPQT44可知IRXTR33,R为正交矩阵，其形式如（式3-4）：……（式3-4）上式就是旋转矩阵R的四元素表示法，可以表示任何一种旋转状态。2.光束法平差模型：在解析摄影测量中，将外方位元素和模型点坐标的计算放在一个整体内进行，此时称其为光束法。光束法平差是以共线方程式作为数学模型，像点的像平面坐标观测值是未知数的非线性函数，经过线性化后按照最小二乘法原理进行计算。该计算也是在提供一个近似解的基础上，逐次迭代来达到趋近于最佳值的。①.共线方程式的表达：设S为摄影中心，在世界坐标系下的坐标为（SX,SY,SZ）;M为空间一点，在世界坐标系下的坐标为（X,Y,Z），m是M在影像上的构象，其像平面和像空间辅助坐标分别为（x，y，-f），（mmmZYX,,），此时可知S、m、M三点共线。可得（式3-5）ZSZZmYSYYmXSXXm……（式3-5）再根据像平面坐标和像空间辅助坐标的关系有（式3-6）mmmmmmTZYXcbacbacbaZYXfyxR*333222111……（式3-6）由式3-5和式3-6可解得共线方程式为（式3-7）)(3)(3)(3)(2)(2)(20)(3)(3)(3)(1)(1)(10ZSZYSYXsXZSZYSYXsXZSZYSYXsXZSZYSYXsXcbacbafyycbacbafxx……（式3-7）其中，0x、0y、f是影像内方位元素；表示像平面中心坐标和摄像机主距。②.共线方程式的线性化：该方程式一次项展开式为（式3-8）ZYXZsYsXsZYXZsYsXsdddddddddFFdddddddddFFZFyYFyXFyFyFyFyZsFyYsFyXsFyyyZFxYFxXFxFxFxFxZsFxYsFxXsFxXX00…（式3-8）式中0XF、0yF为共线方程函数近似值，Xsd、Ysd、Zsd、d、d、d为外方位元素改正数，Xd、Yd、Zd为待定点的坐标改正数。在保证共线条件下有：ZsFyZFyYsFyYFyXsFyXFyZsFxZFxYsFxYFxXsFxXFx,,,,……（式3-9）此时，根据式3-7以及旋转矩阵可得到（式3-10）：)(31111FxafaazXsFx)(31121FxbfbazYsFx)(31131FxcfcazZsFx)(32211FyafaazXsFy)(32221FybfbazYsFy)(32231FycfcazZsFycos]cos)sincos([sin14fyxyafxFx……（式3-10）)cossin(sin15yxfafxFxyaFx16cos]sin)sincos([sin24fyxxafyFy)cossin(cos25yxfafyFyxaFy26③误差方程式的建立：据此可得到误差方程式为（式3-11）：yZYXZsYsXsxZYXZsYsXsldadadadadadadadadaVldadadadadadadadadaVyX232221262524232221131211161514131211…（式3-11）其中有：)(3)(3)(3)(2)(2)(20)(3)(3)(3)(1)(1)(10ZSZYSYXsXZSZYSYXsXyyZSZYSYXsXZSZYSYXsXXXcbacbafyFFlcbacbafxFFlyx……（式3-12）将误差方程式改写成矩阵形式可为（式3-13）：yxZYXZsYsXslldddaaaaaaddddddaaaaaaaaaaaaVVyX**232221131211262524232221161514131211……（式3-13）也可简写成：LBtAXLtXBAV*……（式3-14）在该式中有：yxZYXZsYsXsyllLdddtddddddXaaaaaaBaaaaaaaaaaaaAVVVTTTxT232221131211262524232221161514131211④法方程式的建立：根据平差原理可知其法方程式为（式3-15）：0*LBLAtXBBABBAAATTTTTT……（式3-15）此时，对于加密点，只需列出误差方程式，权赋1；对于控制点，列出误差方程式，还要列出虚拟误差方程式，权赋P。虚拟误差方程式为（式3-16）：ZVYVXVPZYX权为……（式3-16）列出各类点的误差方程式后，按照最小二乘法原理建立法方程式，即按PVV为最小建立的法方程式为（式3-17）：0*PLBPLAtXPBBPABPBAPAATTTTTT……（式3-17）也可简写成：0*2122121211LLtXNNNNT在根据上式进行展开消元可得改化法方程式为：2122121121221211*LNNLXNNNNT……（式3-18）或者1111T12212111T1222t*LNNLNNNN……（式3-19）根据式3-18可以求解出外方位元素的改正值；式3-19可以求解出点的坐标改正值。⑤.结果判定：将改正数和规定的限差相比较，若小于限差则迭代完成，否则用未知数的新值又作为近似值继续迭代，直至满足条件。由此可知，开始时提供的初始值越接近最佳值，解的收敛速度就愈快；所以通常的处理方法是先进行空间后方交会，求出像片的外方位元素，将其作为光束法平差时未知数的初始值。参考文献：摄影测量学武汉大学出版社金为铣2001年4月P23J1718