电子科技大学2015数值分析研究生期末考试

模拟题1、考虑方程，迭代格式如下232xx02132,1,23kkkkkxxxxkx2,分别求出使该迭代格式在和有局部收敛性的*2x*1x范围.解：22232(23)(23)2(32)(),()123(23)xxxxxxxxxxx,(2)(1)1由局部收敛的条件知*|()||1|102x，2、根据下面数据求形如的最小二乘拟合曲线2)(bxaxix-2-1012iy21-113解取基函数212()1,()xxxT，令11211222132314241525()()14()()11()()10()()11()()14xxxxAxxxxxx记，求解法方程组，即(,),(2,1,1,1,3)TTxabyTAAxAy5106103422x得85,357ab，最小二乘似合曲线为275358)(xx3、给定方程组Ax，其中，b1020101010,1243401032Ab计算矩阵A的LU分解，并求出方程的解.解：矩阵A的LU分解为110011011212101012ALU20方程组的精确解为.1xT（，-1,1,1）4.给定求积公式，试确定，使其代数精度尽可能的高，并指明此时求积公式的代数精度.(0).5)0()0()(10fCBfAfdxxfCBA,,解：分别将2()1,,fxxx，代入求积公式，可得.3141,2121,111021010dxxBxdxCBdxBA解得61,34,31CBA，求积公式为(0).61.5)0(34)0(31)(10fffdxxf令3()fxx时求积公式不精确成立，从而精度为2.5.(10分)证明解的梯形格式),(yxfy)],(),([2111nnnnnnyxfyxfhyy是二阶的，并求出局部截断误差的主项.证：局部截断误差为)],(),([2)()(1111nnnnnnnyxfyxfhxyxyT)O(h])()([2)(!3)(2)(4132nnnnnxyxyhxyhxyhxyh)O(h])(2)()()([2)(!3)(2)(4232nnnnnnnxyhxyhxyxyhxyhxyhxyh)O(h4)(123nxyh所以梯形方法是二阶方法，其局部截断误差的主项为).(123nxyh6.用高斯公式计算积分.2n31sinxexdx解：由于高斯求积公式为,其中是的零点.首先将积分区间转化为.令则nkkkxfAdxxf011)()(]3,1[kx)(1xPn]1,1[2txx时.而]1,1[tdttedxxeItx11231)2sin(sin令)2sin()(2tetgt两点公式为n=1的情况，高斯点取33，求积系数均为1.代入高斯积分公式得dttedxxeItx11231)2sin(sin)233sin()233sin(233233ee