初中数学阿氏圆题目关于一道求最值问题引发的探讨

一道求最值题目引发的探究这道题目乍一看，应该不是很难，求三角形的面积，有多种方法，可以用底×高÷2，也可以用海伦公式（已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]），还可以用三角函数法求解（已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC，即两夹边之积乘夹角的正弦值。）这些都是代数方法，而数学往往是数形结合求解，尤其是在几何题目里。那如何用代数法求解呢？直接套用求面积最基本的公式好像不是那么容易就能解决，因为高不知道是多少。代数法：（方法一，海伦公式）假设AC=X,则AB=2AC=2X，由海伦公式得：42561609)424x3()224x3(x-24x324x324xxxSABC）（根据三角形三边关系可以得到：xxxx2442得出434x令t=x2，则16916t，所以4256160942561609)424x3()224x3(x-24x324x3224ttxxxSABC）（当t为对称轴时，9809-2160t）（，3164256160942561609)424x3()224x3(x-24x324x3224ttxxxSMAXABC）（(方法二、三角函数求解)由已知条件知，AxAxAxxSABC222cos1sinsin221222224165224)2(cosxxxxxxA所以42561609-cos1sinsin22124222xxAxAxAxxSABC剩下的步骤和方法一样了。这两种方法都是把几何问题转化成为了代数问题。那如果用几何方法来解决的话怎么处理呢？几何法：（构建相似三角形）在AB上取点D，使得AC=2AD，则AC:AD=AB:AC=2:1,又∠A是公共角，ACBADC△~，则CD:BC=1:2,所以CD=2，又因为2AD=AC，AB=2AC，所以AD=1/4AB,所以BCDABCABCBCDSSSS344:3:而只有当CD⊥BC时，△BCD的面积最大，此时△ABC的面积最大。如图AB=2X，AC=X，BC=4,CD=2，BD=3/2X,当CD⊥BC时,在直角三角形BCD里，由勾股定理求得，x2=80/9,316213434maxCDBDSSBCDABC对比这三种方法，前面两种方法是把几何问题转化成为了代数问题，使得在求解过程中不需要考虑图形了，而最后面这种构建相似三角形的方法，通过作图和计算求出面积最大值，数形结合思想发挥了很大的作用。写于2018.8.8号