第三章周期信号的傅里叶级数表

1第三章周期信号的傅里叶级数表示FOURIERSERIESREPRESENTATIONOFPERIODICSIGNALS主要内容：Ⅰ.周期信号的频域分析Ⅱ.傅里叶级数的性质Ⅲ.LTI系统的频域分析2§3.0引言Introduction时域分析方法的基础：1)信号在时域的分解2)LTI系统满足线性、时不变性从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：1)本身简单，以便LTI系统对它的响应简便得到2)具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号3本章将找到另一种满足上述要求的基本信号单元--复指数信号,LTI系统对复指数信号的响应是十分简单。stenz4傅里叶生平•1768年生于法国•1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”•1829年狄里赫利第一个给出收敛条件•拉格朗日反对发表•1822年首次发表“热的分析理论”5傅里叶的两个最主要的贡献——•“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点•“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点6§3.2LTI系统对复指数信号的响应TheResponseofLTISystemstoComplexExponentials一个LTI系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化，即：nnststzzHzesHe离散时间信号：连续时间信号：是一个复振幅因子，其中zHsH7特征函数：如果系统对某一信号的响应只是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值。证明：复指数（est、zn）是LTI系统的特征函数。nnststzzHzesHe离散时间信号：连续时间信号：8例:对单位冲激响应的LTI系统，其特征函数，相应的特征值是什么?)()(tth解：()()htt的LTI系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值为1。例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为，找出一个信号，该信号不具有的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为1。()()httTste解：()()httT，()()xtxtT。如果()xt是系统的特征函数，且特征值为1，则应有：满足这一要求的冲激序列为()()kxttkT。1)()()(*)()(txTtxthtxty补充例题：9复指数函数、是一切LTI系统的特征函数。同时:分别是LTI系统与复指数信号相对应的特征值。只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。nnsttznhzHdtethsHstenz例题3.110只需求出系统的特征值,即可求出①的输出。例3.1已知系统的输入输出关系为3txty！时，系统的输出。，求：①t2j1etxty2分析：复指数输入为LTI系统的特征函数，根据②3t73t4tx2coscos时，系统的输出;ty1sH解：①221jsetxtjstesHtyt2j6jt2j1eee2jHty333sshtHsede又6je2jH＝11②tx2不是一个特征函数形式，根据欧拉公式，将其分解为特征函数的线性组合：tjtjtjtjeeeetttx774422121212137cos34cos以上4个特征函数的输出用①步的方法求出，分别为：,t4j12jt4jt4jee21e4jH21e21tjjtjtjeeejHe412442142121,t7j21jt7jt7jee21e7jH21e21t7j21jt7jt7jee21e7jH21e213t73t4ee21ee21ee21ee21tyt7j21jt7j21jt4j12jt4j12j2coscos由叠加原理1213nkkkkknkkzzHanyzanx同理：则：14•综上：对于连续时间和离散时间来说，如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中每一个系数可以用输入中相应的系数分别与特征函数或有关的系统特征值或相乘来求得。katskenkz)(ksH)(kzH15其中每个信号都是以为周期的，公共周期为，且该集合中所有信号都是各不相同彼此独立的。§3.3连续时间周期信号的傅里叶级数表示FourierSeriesRepresentationofContinuous-TimePeriodicSignals一连续时间傅里叶级数成谐波关系的复指数信号集:tjkket002k02其中每个信号都是以为周期的，公共周期为，且该集合中所有信号都是各不相同彼此独立的。其中每个信号都是以为周期的，公共周期为，且该集合中所有信号都是各不相同彼此独立的。16如果将该信号集中的所有信号线性组合起来，tTjkkktjkkkeaeatx)/2(0它也是以?为周期该级数就是傅里叶级数，这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号。即:连续时间周期信号可以分解成无数多个谐波分量。0217图形见下页1819二频谱的概念在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，线段的位置表示相应的频率。一根线段某个分量的幅度线段的位置相应的频率代表代表即：2021因此，当把周期信号表示成傅里叶级数时，tjkkkeatx022~232425——傅里叶级数的另一种三角函数形式26四连续时间傅里叶级数的系数确定27在确定上述积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为：28ktTjkkktjkkeetx)2(aa)(0TtTjkTtjkkdtetxTdtetxTa)2()(1)(102930解：方法一：直接利用公式进行求解TtTjkTtjkkdtetxTdtetxTa)2()(1)(10方法二：ktTjkkktjkkeetx)2(aa)(031解：的幅度和相位图如下图所示：3233五、周期性矩形脉冲信号的频谱（例3.5）SampleFunction其频谱系数为：K不等于001jktkTaxtedtT1021TTaxtdtTT其中为抽样函数抽样函数010100sin2KTSaKTSaKTTKT抽样函数的性质:0012lim130,,1,2,3sinsin4,250limttSatSatSatSattnnttdtdtttSat谱线为离散的（谐波性），在时取值，脉冲周期越大，谱线间隔越小，越密；各点频谱大小与脉宽成正比，与周期成反比；频谱包络线形状：抽样函数，过零点为最大值为主要能量在第一过零点内，第一个零点坐标为:1.矩形脉冲频谱分析01TT2002Tkk010101TTkωk,10011001222TTkSaTTTkSaTTak1T0T1）设矩形脉冲的高度不变，脉冲宽度不变，周期增大时，具体看频谱如何变化？0T2.矩形脉冲谱线随参数的变化10011001222TTkSaTTTkSaTTak,4101TT,8101TT,16101TT221221001kSaTTkSaTTak441221001kSaTTkSaTTak881221001kSaTTkSaTTak22kk为第一个零点，对应44kk为第一个零点，对应88kk为第一个零点，对应000022,kT12T000024,kT000028,kT221kSaak441kSaak881kSaak10011001222TTkSaTTTkSaTTak2）设矩形脉冲的高度不变，周期不变，脉冲宽度减小时，观察频谱变化情况0T1TT122kk为第一个零点，对应44kk为第一个零点，对应88kk为第一个零点，对应000022,kT000024,kT000028,kT10011001222TTkSaTTTkSaTTak4101TT8101TT16101TT221221001kSaTTkSaTTak441221001kSaTTkSaTTak881221001kSaTTkSaTTak221kSaak441kSaak881kSaak谱线间隔变小幅度下降频谱包络形状不变，0点频率不变主瓣内包含的谐波分量数增加谱线间隔不变幅度下降频谱的包络改变，0点频率变化主瓣内包含的谐波数量也增加0T1T不变0T不变1T002T012TT10011001222TTkSaTTTkSaTTak3）谱线随参数变化的结论：002T012TT10TT10TT41周期性矩形脉冲信号的频谱特征：1.离散性2.谐波性3.收敛性(1)离散性——谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为。这种频谱常称为离散频谱。(2)谐波性——谱线在频谱轴上的位置是基频的整数倍。(3)收敛性——各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小T200424344§3.4连续时间傅里叶级数的收敛ConvergenceoftheFourierseries这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。一、傅里叶级数是对信号的最佳近似4546•结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对周期信号的最佳近似。•即是中的傅里叶级数中截取一部分，当N越大EN越小，N趋于无穷时，能量误差EN为零。474849这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性。5051三、吉伯斯（Gibbs）现象满足Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数是如何收敛于的。特别当具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于。txtxtx52535455•Gibbs现象表明：用有限项傅氏级数表示有间断点的信号时，在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的幅度不会随项数的增加而减少。只是随着项数的增多，振荡频率变高，向间断点处压缩，而使它所占有的能量减少。56P179作业：9月13日•3.4•3.2457§3.5连续时间傅里叶级数的性质PropertiesofContinuous-TimeFourierSeries这些性质的学习，有助于对概念的理解与信号的展开.58kkjTtjkTkadexTdtetxTbtx001159推论：60kjkTatjkTtajkaTkadexTdateatxTdteatxTabatx