含参变量有限积分的计算

课程论文题目学生姓名毛文龙所在院系理学院指导教师职称完成日期2011年6月20日数学分析选讲课程论文-1-含参变量有限积分的计算一、引言含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、含参变量积分函数的相关计算（极限、求导）等等。二、定义及性质1.积分限固定的情形定义设二元函数uxf,在矩形域xbxaR,有定义，,u，一元函数uxf,在ba,可积，即积分badxuxf,存在。,u都对应唯一一个确定的积分（值）badxuxf,。于是，积分badxuxf,是定义在区间,的函数，表为badxuxfu,，称为含参变量的有限积分，u称为参变量。性质1(连续性)设函数uxf,在矩形域xbxaR,连续，则函数badxuxfu,在区间,也连续。这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的。即对任意,0u，bauubauudxuxfdxuxf,lim,lim00。同理可证，若uxf,在矩形域xbxaR,上连续，则含参变量的积分dcdyyufu,也在区间,上连续。性质2(可微性)若函数uxf,及其偏导数uf在矩形区域uaR，bx上连续，则函数badxuxfu,在区间,可导，且,u，有dxuuxfududuba,。数学分析选讲课程论文-2-说明被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时，导数与积分运算是可以交换顺序的。（积分号下求导定理）性质3(可积性)若函数uxf,在矩形区域uaR，bx连续，则badxuxfu,在区间，上可积，且dxduuxfdudxuxfduubaba,,表明定义在举行区域上的连续函数，关于不用变数的积分（简称累次积分）可交换积分次序。推论在闭矩形域上连续函数yxf,，其累次积分可交换求积顺序。2积分限变动的情形性质4(连续性)若函数yxf,在矩形区域uaR，bx上连续，函数ya，yb在dc,上连续，并且byaa，byba，dyc，则ybyadxyxfyF,在dc,上连续。性质5(可微性)若yxf,，yxfy,都在矩形区域uaR，bx上连续，函数ya，yb在dc,上可微，且满足yaa，byb则函数ybyadxyxfyF,在dc,上可微，且有yayyafybyybfdxyxfyFybyay,,,。三、基本方法1.含参变量有限积分的基本计算方法1.交换积分顺序例求100lnbadxxxxIab。解由被积函数的特点想到积分xxxxxdyxabbaybaylnln，所以baydyxdxI10，yx在ba,1,0上连续数学分析选讲课程论文-3-dyyxdxxdybayyba10!10111ln11abdyyba。方法2.换元法例若函数xf连续，且xdttxtfxcos10，求dxxf20。解做换元uxt，则duufuxdttxtfxx00duuufduufxduufuxxux000，所以题意条件就被变形为xduuufduufxxxcos100，等式两边对x求导，得xxxfxxfduufxsin0，即xduufxsin0，令2x，得120dxxf。方法3.先求导再积分例计算0cos1lndxxI，1。解因为00cos111cos1cosdxxdxxxI，利用万能公式2tan12tan1cos22xxx，在上式中令2tanxt有020220111212112cos11tdtttdtdxx，数学分析选讲课程论文-4-202111arctan-12t。于是21I，积分得到CI211ln，显然，00I，从而2lnC，即211ln2I。方法4.积分号下求导法求积分例计算20tantanarctandxxxaaI，1a。解令xxaaxftantanarctan,，则当2,0x时，f无定义，但aaxfx,lim0，0,lim2axfx，故补充定义aaf,0，0,2af，则f在bb,2,0连续10b，从而aI在1,1连续，有1||,2,0,01||),2,0(,tan11),(22axaxxaaxfa，显然0,xfa在2x点不连续，但axfa,分别在0,12,0和1,02,0连续。故有202022tan11,dxxadxaxfaIa，0,1a或1,0a，令txtan，得dttatatataadttataI022222222022211111111数学分析选讲课程论文-5-adttaata12111-11022222，0,1a或1,0a。积分得11ln2CaaI，1,0a；21ln2CaaI，0,1a。因为aI在1,1连续，故aIaIIaa00lim0lim0。得021CC，从而得aaI1ln2，1a。方法5.含多个参变量情形的讨论例计算202222cossinlndxxbxa，0,0ba解将a视作参变量，b视作常数，则20222cossinlndxxbxaa，2022222cossinsin2dxxbxaxaa。当ba时，bbxdxbb22212sin2202；当ba时，做代换xttan，得202222212dtabtttax022222arctanarctan2batbababtbaaaba。将abaa0积分，得数学分析选讲课程论文-6-acbaa0ln。再令ba,则Cbb2ln。但20222lnsincoslnbdxxxbb，所以21lnC，于是ababaa02ln21lnln，如果0a或0b，则可化为0a且0b的情形，于是2lnbaa。2.含参变量的变上限积分函数的计算习惯上，我们称xadttxfxF,为“含参变量的变上限积分函数”，还有更复杂一点的形式是xxdttxfxG,，对于这一类函数的相关计算，主要分为求积分、求导、求极限三类。方法1.运用公式直接计算例设22xxxydyexF，求xF。解设2,xyeyxf，则22,xyxeyyxf，因yxf,，yxfx,在2R上连续，所以，由可微性定理得22222xxxxxxxyeedyexxF35222xxxxxyeedyey。3.含参变量的变上限积分函数的求导这类函数在求导时导数不能只考虑上下限是变量，如果简单地把函数xxdttxfxG,的导数写成xxxfxxxfxG,,是极为错误数学分析选讲课程论文-7-的，因为这里在被积函数里还含有“参变量x”。这一类求导问题是考研的热门问题，有些辅导班和辅导教材，专门介绍“数学分析”里的“含参变量的变上限积分函数”求导的莱布尼茨公式，殊不知这样的解法是朝纲的，不被阅卷老师认可的。按照工科考研要求，只能把被积函数里含有的“参变量x”设法“弄到”积分号外面。方法1.先分部积分再求导计算。例设ydxxxyyF01ln，0y，求yF。解yxydxyyyF0211ln221ln21ln1lnyyyxyyy。方法2.积分号下求导。例求函数21lnyydxxyxyF的导数0y。解0y，暂时固定，0，使得1y。易见见函数xyxyxf1ln,及其偏导数yxyxfy11,在1,1,上连续。并且，yyx1和22yyx在1,可导。故由定理知yF可导，则有dydyxyydydyxyydxxyxyyFyy1ln1ln1ln222xyxyydxyxyy231ln1ln2112xyyyyyy23231ln1ln21ln1ln。方法3.先定理展开在求导数学分析选讲课程论文-8-例设2sinxxdyyxyx，求x。解1sin2sincos2232xxxxxxydyxxxxxxxxxyxx23sinsin2sin2xxx23sin2sin3。方法4.先换元简化再求导。例若xf是连续函数，求dttxfdxd10。分析对于函数进行求导，我们能不能先求导再积分？即xfxftxfdttxfxFtt11010。回答：肯定不行！因为：（1）不满足莱布尼茨公式的条件，即不满足xf是连续函数。（2）即使满足莱布尼茨公式的条件，考研试卷上如果使用这样的方法，阅卷时时得不到承认的。所以，要想方设法把10dttxf中被积函数txf中的x从积分号里往外搬。解令txu，则xut，dudt，0t和1t对应于xu和1xu，所以duufdttxfxFxx110，xfxfxF1。方法5.换元法求二阶导。例设)(xf为连续函数，hhddxfxF00，求xF。解令ux，则hhxxhhduufdddxfxF000，数学分析选讲课程论文-9-hhdxfdhxfxF00。在第一项中令uhx，在第二项中令ux，则hxxhxhxduufduufxF2，xfhxfhxfxF22。4.含参变量有限积分函数的极限方法1.连续性定理求极限例求1020cos1limaxxdxa。解因为axxcos112在区域1,11,0上连续，因此10201020cos1limcos1limaxxdxaxxd