第二章--稳态热传导

第二章稳态导热一通过平壁的导热二通过复合平壁的导热三通过圆筒壁的导热四通过肋壁的导热五通过接触面的导热六二维稳态导热问题第二章稳态导热对于稳态，则有：t/=0，导热微分方程式可写成：▽2t+qv/=0若无内热源，上式简化为：02222222ztytxtt为简化计算，工程中很多传热过程均可看作是一个一维的过程，本章主要讲述常见的几种一维导热问题。一通过平壁的导热一、已知第一类边界条件：若平壁宽度、高度均大于10，该壁则为无限大平壁。如图，此时导热问题完整的数学描述为：d2t/d2x=0t|s=twt|x=0=tw1t|x==tw2对d2t/d2x=0一次积分得：dt/dx=C1二次积分后得：t=C1x+C2将边界条件代入上式求C1、C2有：tw1=C2C1=-（tw1-tw2）/tw2=C1·+C2C2=tw2于是可得温度分布：txxtxtw1tw2qxttwwttw211/tw2tw1q通过平壁的导热一、已知第一类边界条件：据傅里叶定律即可求得导热热流密度：q=-·dt/dx=·（tw1-tw2）/或写成热阻形式：q=（tw1-tw2）/（/）=（tw1-tw2）/R若随t变化，如遵循=0（1+bt）规律时，则q应如下求解：导热微分方程式为：边界条件为：x=0t=tw1x=t=tw2解微分方程得此时物体内部温度场：此时平壁内温度分布为二次曲线关系。且：当b0时，q变q常；当b0时，q变q常。另从上式可知，此时q也可用下式计算：0dxdtdxdxtb0b0b=0xttttwwttwwbbwb21212211212120121wwbttttqww/21twwttq通过平壁的导热一、已知第一类边界条件：对如下图所示的多层平壁，对每个壁而言，均有：将上式合并整理后得：对于n层平壁，则有：n层平壁中第i层与第i+1层之间接触面的温度tw，i+1为：tw,i+1=tw1-q（R,1+R,2+…+R,i）qtw1tw2tw3tw4124123211/1,1121wwRttttqww321/2,22132wwRttttqww431/3,3343wwRttttqww31,413,2,1,41iiniinwwRttq1,11通过平壁的导热二、已知第三类边界条件：已知：x=0处tf1、h1；x=处tf2、h2；、、稳态、无内热源。此具体导热问题完整的数学描述为：d2t/d2x=0-dt/dx|x=0=h1（tf1-t|x=0）-dt/dx|x==h2（t|x=-tf2）引入未知中间变量：tw1=t|x=0tw2=t|x=据傅里叶定律及前面结果，上三式可写为：q|x∈（0,δ）=λ（tw1-tw2）/δq|x=0=h1（tf1-tw1）q|x==h2（tw2-tf2）对于稳态，整理上列各式得：txtw1tw2/tf2tf1qtf1tf2h1h2tw1tw21/h11/h2通过平壁的导热二、已知第三类边界条件：也可写作：q=k（tf1-tf2）（请牢记K的物理意义！）对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：若已知传热面积A，则热流量为：211121hhffttq2111121hniiihffttqAhniAiiAhfftt2111121二通过复合平壁的导热1.当组成复合平壁的各种材科的导热系数相差不大时，为使问题简化，可近似地当作一维导热问题处理。q=△t/∑R式中：△t：复合平壁两侧表面的总温度差；∑R：复合平壁的总导热热阻。据不同组合情况，按电工学串并联电路的方法求解。2.当组成复合平壁的各种材科的导热系数相差较大时，工程先仍按上述方法求出总热阻，然后引入修正系数，由实验确定，即：∑R实=∑RABCDEFt1t2RARBRCRERDRF三通过圆筒壁的导热一、已知第一类边界条件当管长远大于壁厚，可忽略沿长度方向上温度的改变，又因圆筒壁的温度场轴对称，故为一维稳态温度场，此时有：t|s=twr=r1t=tw1r=r2t=tw2微分方程两次积分后：t=c1lnr+c2将边界条件代入上式后即得温度分布为：将导热微分方程一次积分后有：dt/dr=c1/r从上式知温度沿半径r的变化率与r成反比，温度分布曲线为一条下凹的曲线。另因总不变，而qr=/Ar，故在不同的Ar圆筒面上有不同的热流密度值。0:0122drdtdrddrdtrdrtdror121121lnln211lnln211:ddddrrrr通过圆筒壁的导热一、已知第一类边界条件据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式：式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。单位为：℃/W实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：式中分母为单位长度圆筒壁的导热热阻Rl，单位为m·℃/W多层圆筒壁与多层平壁计算相类似，导热量可用温差和总热阻来计算：122121lnddlwwttmWqddwwttlQl/122121lnmwqorqniilnwwnididinwwRttlttl/1,111112111ln通过圆筒壁的导热二、已知第三类边界条件如图，此时的数学描述为：同样引入未知中间变量tw1、tw2并引入前述结果，即可得：此时单位管长的热阻：当冷热流体通过多层圆筒壁时的传热量为：0:0122drdtdrddrdtrdrtdror11|22|1111rrfrrdrdtttrhr222222|22|frrrrdrdtttrhr21ln221122111121ffllttlttkqorqhdddhdff2212111211lnhdddhdlR221112111121lnhdniididihdffttlq通过圆筒壁的导热三、临界热绝缘直径如图：已知热力管道内、外直径为d1、d2，外包导热系数为ins的绝热保温材料，外径为dx，且己知1、h1、h2，此时总热阻为：上式知：dx↑→绝缘层导热阻↑但：dx↑→绝缘层外对流换热热阻↓于是dRl存在极值，令：当dx≠∞时，则据上式dx存在某一数值dc使Rl有极小值，此值dc即为临界热绝缘直径。dc=2ins/h2当d2dc，若绝热层外径dx有：d2dxdc，此时热绝缘层不仅不起隔热保温作用，反而增强了传热。h2h1d1insdx1d22212111121211lnlnhdddddhdlxxinsR021211xinsxxldhddddR四通过肋壁的导热通过肋壁的导热由传热方程式Φ=KAΔt知：提高Φ，可以通过提高K﹑Δt和A等三种方法来实现。由1/K=1/h1+δ/λ+1/h2，提高K，关键在于改进换热系数；而提高Δt受制于工艺技术的制约，如水冷重油冷却器中水的温度无法降低；提高A又意味着增加材料的消耗量。工程上常采用加肋片的办法，可以在增加材料消耗量较少的条件下，更多的增大传热面积。肋片是指依附于基础表面上的扩展表面，并将肋片加在对流换热系数小（即热阻大）的一侧。图2.15给出了四种典型的肋片结构。根据沿肋高方向上面积的变化，又可分为等截面和变截面肋。通过肋片导热的特点是：在肋高的方向上有表面的传热，即沿肋高方向上的热流量是不断变化的。本节主要讨论肋壁中单个肋片的传热问题。并弄清楚两问题：①通过肋片表面的对流散热量？②从肋基到肋端的温度如何变化？即温度场如何？通过肋壁的导热1.假设：①Hδ，且值较大，即可忽略温度沿方向和长度的变化，认为：t=f（x）；②肋片端面，即x=H处绝热，即有：H=0。2.已知：肋高H，肋宽L，肋厚，肋片材料的导热系数，流体温度为tf，肋与周围流体的复合换热系数为h，肋片断面周长为P=2（L+），断面面积为：AL=L·；肋基温度t0且大于tf。3.表面对流换热作负的内热源处理。使此问题变成一维稳态导热。一、等截面直肋的导热dxdxHLL·00H≈0tfdh1通过肋壁的导热一、等截面直肋的导热（此导热微分方程亦可由热力学第一定律导出）4.求解：1.确定负内热源强度：2.据一维稳态具内热源的微分方程d2t/d2x+qv/=0有：3.边界条件：a.t|x=0=t0………………………………………2b.dt/dx|x=H=0…………………………………34.引入过余温度：令：=t-tf0=t0-tf代入1则变成：H=tH-tfLfLfAtthPdxAPdxtthdVdq有：令：2AhPfAhPdxtdm0tt221ttmf2xdtd22通过肋壁的导热一、等截面直肋的导热4.求解：4.引入过余温度：1式变为45.解微分方程得温度场4式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为：=C1emx+C2e-mx5将边界条件2、3代入5即得肋片沿H方向的温度分布：或写作：式中：均是双曲线余弦函数。说明温度场呈双曲线余弦关系变化。2xddm22mHexpmHexpHxmexpHxmexp0eeee0:ormHmHHxmHxmmHchHxmch02eeHXmHXmHxmch2eemHmHmHch通过肋壁的导热一、等截面直肋的导热4.求解：6.肋端过余温度l：当x=H时，即得肋端过余温度的表达式：7肋片上、下两表面的总对流散热量：对求导且代入x=0即有：d/dx|x=0=-m0th（mH）式中：为双曲线正切函数。于是有：即：mHch1000||xdxdLxAmHmHmHmHeeeemHthmHthmhPmHthmA|A|00L0xdxdL0xmHthmhPmHthmA00L通过肋壁的导热一、等截面直肋的导热5.对前面两个假设的讨论：①前述结果是在H和肋端绝热的情况下得到的，故应用于簿而高的肋片上，计算结果显然是足够准确的。对于厚而短等必须考虑肋端散热的情形，可用一简便而又较准确的方法：以假想的肋高H+/2替代实际肋高H，代入上述式中计算。此时为考虑肋端的实际散热而将端面面积铺展到侧面上。②引入无因次参数：毕渥准则数Bi=h/〖=（/）/（1/h）〗它反映了肋片沿厚度方向上的导热热阻与周围对热换热热阻的比值。此时当Bi≤0.05，即20R≤Rh时，若忽略导热热阻所引起的计算误差不超过1%。否则，上述计算式不再适用，要较准确地计算可用数值方法。通过肋壁的导热求：气罐中气体的真实温度tf及测量误差（tf-tl）各是多少？解：铁套管可看成是从贮气罐罐体上伸出的肋片（自t0处向tl处），且将圆柱体展开作等截面直肋计算，只不过此时与气流对流换热的只有外表面一面。一、等截面直肋的导热6.例题：对压气机贮气罐采用如图所示方法测量。己知如图。t0=50℃tl=100℃=58.2w/m·℃=1h=29.1w/m2·℃tf=?通过肋壁的导热一、等截面直肋的导热6.例题：解：据l=0/ch（ml）→tl-tf=（t0-tf）/ch（ml）整理后有：tf=［tl·ch（ml）-t0］/［ch（ml）-1］经分析此时有：P=dAL=d则：代入数据计算得：ml=3.14查表有：ch3.14=11.6代入上式得：t