中心极限定理

大数定律及中心极限定理研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:与大数定律中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的规律，应该研究大量随机现象.大量的随机现象中平均结果的稳定性大数定律的客观背景大数定律及中心极限定理)Chebyshev(不等式定理：（切比雪夫不等式）设随机变量X有数学期望,对任意0,有:2,DXEX方差22/}|{|XP22/1}|{|XP返回主目录§1大数定律§1.大数定律这个不等式给出了随机变量X的分布未知情况下，事件}|{|X的概率的一种估计方法。例如：在上面不等式中，取4,3，有：8889.0}3|{|XP9375.0}4|{|XP大数定律及中心极限定理返回主目录§1大数定律假设一批种子的良种率为，从中任意选出600粒，试用切比雪夫（Chebyshev）不等式和中心极限定理分别估计：这600粒种子中良种所占比例与之差的绝对值不超过0.02的概率。大数定律及中心极限定理}02.0600100-XP{}02.061600XP{.6561600DX,61600EX由切比雪夫不等式有614213.014465616001121}12100-XP{2DX例1§1大数定律61解：设X表示600粒种子中良种的粒数§1大数定律大数定律及中心极限定理在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性，还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。设,,,1nXX是随机变量序列，令nkknXnY11，若存在常数序列,,,1naa使对任意0，有1}|{|limnnnaYP，或0}|{|limnnnaYP，定义1：设是随机变量序列，是一个常数；若对任意，有:则称依概率收敛于，记为。,,,1nYY01}|{|limaYPnn,,,1nYYaYPnaa定义2：则称}{nX服从大数定律。返回主目录§1大数定律大数定律及中心极限定理定理（切比雪夫定理的特殊情况）设随机变量,,,1nXX相互独立，且具有相同的数学期望及方差，，，，,2,12kDXEXkk令nkknXnY11，则：对任意的0，有:1}|1{|lim}|{|lim1nkknnnXnPYP或0}|1{|lim1nkknXnP返回主目录定理（贝努里大数定律）设An是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则：对任意的0，有1}|{|limpnnPAn或0}|{|limpnnPAn§1大数定律大数定律及中心极限定理此定理说明了频率的稳定性。定理（辛钦大数定律）设,,,1nXX相互独立同分布，且具有数学期望,,,2,1nkEXk，，则：对任意的0，有1}|1{|lim1niinXnP§1大数定律大数定律及中心极限定理注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。返回主目录§2中心极限定理大数定律及中心极限定理（独立同分布的中心极限定理）设,,,1nXX是独立同分布的随机变量序列，且),2,1(,02kDXEXkk，定理返回主目录111()(0,1)()()~nnkkkknkkXEXNnDX§2.中心极限定理大数定律及中心极限定理定理（德莫佛-拉普拉斯定理）),2,1(nn设随机变量服从参数为n,p(0p1)的二项分布).,(~pnBn，即)1,0(~)1(X),,(~NpnpnpnpnBX充分大时，有：(DeMoivre--Laplace))1,0(~NDXEXX§2中心极限定理大数定律及中心极限定理例2某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。解：，数为记某时在工作着的车床X.B(200,0.6)~X则设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有：)4.06.02006.0200()4.06.02006.0200()4.0()6.0(}{0200200rCrXPrkkkk返回主目录§2中心极限定理大数定律及中心极限定理141.r1.348120-r,999.0)48120()32.17()48120(所以查表得rr即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。返回主目录§2中心极限定理大数定律及中心极限定理例3设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工作，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统正常工作的概率。解：设X是损坏的部件数，则X~B(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当X15.由中心极限定理有.952.0359.01.01001.0100159.01.01001.0100159.01.01001.0100}15{XPXP返回主目录大数定律及中心极限定理例4某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？解：设有X部分机同时使用外线，则有),,(~pnBX.08.3p)-np(110,np0.05,p200,n其中设有N条外线。由题意有9.0}{NXP.08.310)1(NpnpnpN条外线。即至少要安装取即14,14.94.13NN.90.0)28.1(查表得,28.13.0810-N应满足条件故N}{NXP)1()1(pnpnpNpnpnpXP设一批产品的强度服从期望为14,方差为4的分布.每箱中装有这种产品100件.求(1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率是多少.(2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率是多少.n=100，设Xi是第i件产品的强度,EXi=14，DXi=4，i=1,2,,100.每箱产品的平均强度记为解:例5根据中心极限定理141420.2100XXXn即即近似∼N(0,1),11.niiXXn(1).{14.5}PX(2).{14}PX于是14~(0,1)0.2XN1414.514{}0.20.2XP1414{2.5}1{2.5}0.20.2XXPP1(2.5)10.99300.0062141414{}0.20.2XP141{0}0.2XP1(0)10.50.5求P{V105}近似值。解：)20,,2,1(121052kDVEVkk，，，由定理1知：大数定律及中心极限定理例6一加法器同时收到20个噪声电压，设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布，记)20,,2,1(kVk201kkVV2012/10520-1052012/10520-VP105}P{V22387.020)12/10(100-VP1387.020)12/10(100-VP348.0)387.0(1返回主目录