初中数学--变量与函数

114.1变量与函数重要知识点讲解1、常量与变量在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做________，始终不变的量叫做_________。2、函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说__________是自变量，y是x的__________。3、在一个函数关系式中，如果当xa时，yb，那么b叫做当自变量的值为a时的____________。4、自变量的取值范围确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意_______使实际问题有意义。5、函数的图像（1）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的_____与________，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的_______。（2）描点法画函数图像的一般步骤是：①___________；②_____________；③__________；（3）当函数图像从左向右上升时，函数值随自变量的变大而_________；当图像从左向右下降时，函数值随自变量的变大而_________。（4）函数的表示方法：共有_______种，分别是______法、______法、和______法。答案：1、变量，常量；2、唯一，x，函数；3、函数值；4、自变量的取值；5、（1）横坐标，纵坐标，图像；（2）列表，描点，连线；（3）变大，变小；（4）3，图像，列表，解析式。重要知识点讲解知识点一：变量和常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。详解：如在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s的长短随时间t的变化而变化，那么在这一过程中，v是常量，而s和t是变量。当路程s是个定值时，行走的时间t随速度v的变化而变化，那么在这一过程中，s是常量，而v和t是变量。注意：（1）变量和常量往往是相对的，对于不同的研究过程而言，其中的变量和常量是不相同的，变量和常量的身份是可以相互转换的，如：svt、、三者之间；（2）区分常量与变量，就是看某个变化过程中，该量的值是否可以改变（即是否会取不同的数值）；（3）在讨论常量和变量的关系时要考虑变量的实际意义，如：长度，天数，身高不能为负数，人数必须是非负整数等。例1写出下列各问题中所满足的关系式，并支出各关系式中，哪些是常量，哪些是变量。（1）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔n之间的关系；（2）运动员在400m一周的跑道上训练，他跑一圈所用的时间()ts与跑步速度(/)vms的关系。答案：（1）y与n之间的关系为：0.4yn，其中，常量为0.4，变量为y和n。2（2）t与v之间的关系式为400tv，其中，常量为400，变量为t与v。知识点二：函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说x为自变量，y是x的函数。详解：例如，一列货车以80/kmh的速度匀速行驶，如果行驶了th，那么路程80st（km）。这时的速度80/kmh是不变的量，而t和s是变化着的量，t可以在非负实数范围内取任意值，对于t的每一个确定的值，必可以求出唯一的一个确定的路程s与之相对应，因此路程s是时间t的函数。注意：对函数概念的理解，主要应该抓住以下五点：（1）在某一个变化过程中必须有两个变量x与y。如3,5,4,xyxyxy225yxx等。（2）对于自变量x的取值，必须使代数式有意义。如：21yx中的自变量x可以在实数范围内取值；如21yx中的被开放书要满足210x。另外，在实际问题中，自变量x的取值必须使实际问题有意义。如多边形的内角和y是变数n的函数，即0(2)180yn，如果只是从代数式有意义的角度来考虑，n是可以取任意实数的，但我们知道多边形的边数n必须是大于2的正整数。（3）函数的实质揭示了两个变量之间的对应关系：x每取一个值，y都有唯一的值与之相对应，否则y就不是x的函数。（4）判断两个函数是不是同一个函数，应该从自变量的取值范围，函数y的取值范围、函数解析式是否一致来判断。如：①yx和②2xyx，其中①中的x可以取任意实数，②中的x取不等于0的实数，所以yx和2xyx不是同一个函数。（5）含有一个变量的代数式可以看作是这两个变量的函数。如35x，我们可以将x和x看作两个变量，35x随x的变化而变化，x在实数范围内每取一个值，35x就有唯一的值与之对应，所以35x是x的函数。例2判断下面变量之间的关系是不是函数关系：（1）已知圆的半径2rcm，则圆的面积2Sr；（2）长方形的宽一定时，其长与周长；（3）王明的年龄和他的身高。答案：（1）和（3）不是函数关系，（2）是函数关系。知识点三：自变量的取值范围函数关系式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义。（1）当函数解析式是整式时，自变量的取值范围可取全体实数；（2）当函数解析式是分式（分母中含有字母）时，自变量的取值范围要使分母不等于零。（3）当解析式是偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数；（4）对于实际问题中的函数，除使解析式有意义外，还要使实际问题有意义；3（5）自变量的取值范围可以是有限的或无限的，也可以是几个数或单独的一个数。例如：2yx中，自变量x的取值范围是0x；33yxx中，自变量的取值范围是3x。（6）在一个函数关系式中，当自变量x同时含在分式和二次根式中时，函数自变量的取值范围是使它们分别有意义的取值的公共部分。例3求下列函数中自变量x的取值范围：（1）23yx；（2）2341yxx；（3）11yx；（4）2yx；（5）3xyx；（6）21xyx例4已知：等腰三角形的周长为30cm，设底边长为ycm，腰长为xcm，试写出y关于x的函数关系式，并确定x的取值范围。若底边长为6cm，求腰长是多少？答案：由题意，得230xy，所以302yx。由解析式本身有意义，得x为全体实数。又由使实际问题有意义，则要考虑边长为正数，且要满足三角形三边关系定理。所以有：002xyxy即030202302xxxx，解得7.515x。当6y时，3026x，解得12x。所以腰长是12cm。知识点四：函数值对于一个函数，当自变量xa时，我们可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是xa时的函数值。详解：（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值，求相应的自变量的值就是解方程。（2）对于一个函数，可能有若干个函数值。x取不同的值，函数值可能不相等。因此我们应该说明自变量x取什么值时的函数值，如：函数3yx，当0x时的函数值是-3，3x时的函数值就是0.而不能简单地说函数3yx的函数值是-3。例5已知：函数1kyx，当2x时，3y。（1）求k的值；（2）当12x时，求y的值。答案：（1）3k；2y；知识点五：函数的表示方法函数的表示方法，一般有三种：解析式法、列表法和图像法，其中解析式法应用较多。有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示。详解：解析式（函数关系式）：用来表示的函数关系式的数学式子叫做函数解析式或函数关系式，例如以前我们学过的代数式都是解析式。（1）解析式法：用解析式来表示函数关系的方法叫做解析式法。解析式法能揭示变量之间的内在联系，便于我们研究、分析变化趋势，但较抽象，且并不是所有的函数都能列出解析式。如：人的体重和时间之间的函数关系，就很难用解析式法来表示。（2）列表法：用表格来表示函数关系的方法，这种方法比较具体，但有时很难找出两个变量之间的内在联系。4（3）图像法：用图像来表示函数关系的方法，这种方法直观，通过图像可以直观地发现两个变量之间的对应关系及变化发展趋势，但不精确。三种方法各有优缺点，在学习应用中，应视具体情况，选择适当的表示法，或将三种方法结合适用。例6下列图形不能体现y是x的函数关系的是（）答案：C知识点六：图像的概念一般地，对于一个函数，如果你把自变量和函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点所组成的图形，就是这个函数的图像。详解：如：对于函数yx，在坐标平面内描出的横坐标和纵坐标相等的点。由几何知识（到一个角两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线）知，这样的点组成的图形是一条直线（第一、三象限角平分线），这条直线就是函数yx的图像，如下图所示。函数图像上的点的坐标与其解析式之间的关系：由函数图像的定义可知图像上任意一点(,)Pxy中，,xy是解析式方程的一个解。反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图像上。通常判定点是否在函数图像上的方法：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图像上；如果不满足函数解析式，这个点就不在函数的图像上。说明：两个函数图像的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解。由于实际问题的制约，自变量的取值范围，应符合以下条件：①使函数表达式有意义；②符合题意与实际情况。例7小明晚饭后出去散步，从家里出发走20分钟到一个离家900米的报亭看报10分钟后，用15分钟返回家，下列图中表示小明离家的距离y（米）与离家的时间x（分）之间的函数关系式是（）5答案：D知识点七：由函数解析式画图像的一般步骤（1）列表：列出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出对应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。注意：用描点法画函数图像应注意以下几点：（1）列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图像能反映出函数的全貌。（2）描点时要以表中每对对应值为坐标，点取得越多，图像越准确。（3）连线时要用光滑的曲线把所描的点顺次连接起来。函数的图像可以是直线或者是射线或线段或曲线，它形象直观地反映两个变量之间的对应关系，在确定函数图像时要注意自变量的取值范围。例8画出函数21yx的图像。经典例题讲解例1ABC底边BC上的高是6cm，当三角形的顶点C沿底边BC向点B运动时，三角形的面积发生了变化，如图所示，（1）如果三角形的底边BC长为xcm，那么三角形的面积2ycm可以表示为______________;（2）在这个变化过程中，常量是___________，变量是___________;（3）当底边长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从___2cm变化到______2cm.例2下列式子中的yx是的函数吗？为什么？22(1)=3-5;(2)=-1;(3)-=0;-2(4)=;(5)=--1;(6)=.-1yxyxxyxyyxyxx答案：（1）（2）（4）是，（3）（5）（6）不是。例3一水库的水位在最近6天内持续上涨，记录数据如下表所示：n（天）0123456()hm1212.51313.51414.515（1）由记录表推出这6天中水位()hm随时间n（天）变化的函数解析式，并画出函数图像；（2）估计这种上涨的势头还会持续2天，试预测再过2天水位将达到多少米。例4如下图，在长方形ABCD中，2,7,ABBCP是BC边上与B点不重合的动点，过点P的直线交CD的延长线与点E，交AD于点Q（Q与D不重合），且045EPC，设BPx，梯形CDQP的面积为y，求当05x时，y和x之间的函数关系式。6例5下图是古代一种计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间，若用x表示时间，y表示壶底水面的高度，下列的图像适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）答案：B例6如图，在矩形ABCD中，=4AB，=3BC，点P从起点B出发，沿,BCCD方向向终点D匀速运动。设点P走过的路程