《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第一章精要课件 杨辉三角

1.3.21.3.2杨辉三角【学习要求】1．了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数．2．理解二项式系数的性质并灵活运用．【学法指导】从联系的观点讨论二项式系数的性质，与杨辉三角结合，同时，二项式系数组成的数列是一个函数，可以从函数的角度，利用图象，数形结合进行思考.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2填一填·知识要点、记下疑难点二项式系数的性质1．每一行的两端都是，其余每个数都等于它“肩上”两个数的．2．每一行中，与首末两端“等距离”的两个数．3．如果二项式的幂指数n是偶数，那么项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么项的二项式系数相等且最大．4．二项展开式的二项式系数的和等于.1和相等2n本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点一“杨辉三角”的性质问题1观察(a＋b)n展开式的二项式系数(a＋b)1……11(a＋b)2……121(a＋b)3……1331(a＋b)4……14641(a＋b)5……15101051(a＋b)6……1615201561……找一些这些数的规律．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效答(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等，即Cmn＝Cn－mn；(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和，即Crn＋1＝Cr－1n＋Crn.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2问题1中的表称为“杨辉三角”，杨辉三角有什么作用？答利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质，当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效例1如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19.解由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211)＝2＋10×92＋C312＝274.小结利用杨辉三角和二项式系数的关系，将问题转化，利用组合数的性质求解问题．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效解析根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项Ck－1n，Ckn，Ck＋1n，有Ck－1nCkn＝34且CknCk＋1n＝45.化简得kn－k＋1＝34，k＋1n－k＝45，联立解得k＝27，n＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．答案62本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点二二项式系数的最值问题1根据杨辉三角的第1个规律，同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？答对称性，因为Cmn＝Cn－mn，也可以从f(r)＝Crn的图象得到．问题2计算CknCk－1n，并说明你得到的结论．答CknCk－1n＝n－k＋1k.当kn＋12时，CknCk－1n1，说明二项式系数逐渐增大；同理kn＋12，二项式系数逐渐减小．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效问题3二项式系数何时取得最大值？答当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效例2在(3x－2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．解(1)二项式系数最大的项是第11项．T11＝C1020·310·(－2)10x10y10＝C1020·610x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是第r＋1项，于是Cr20·320－r·2r≥Cr＋120·319－r·2r＋1Cr20·320－r·2r≥Cr－120·321－r·2r－1，化简得3r＋1≥220－r221－r≥3r，解之得725≤r≤825.因为r∈N，所以r＝8，即T9＝C820·312·28x12y8是系数绝对值最大的项．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r－1项系数最大(r∈N*)，于是C2r－220·322－2r·22r－2≥C2r－420·324－2r·22r－4C2r－220·322－2r·22r－2≥C2r20·320－2r·22r，化简得10r2＋143r－1077≤010r2＋163r－924≥0，解之得r＝5，即第2×5－1＝9项系数最大．T9＝C820·312·28x12y8.小结可根据已知条件确定n的值；展开式中二项式系数在中间一项或中间两项取得最大值，要注意二项式系数和系数的区别．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n26⇒n＝8.∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48·(2x)4＝1120x4.设第r＋1项系数最大，则有Cr8·2r≥Cr－18·2r－1Cr8·2r≥Cr＋18·2r＋1⇒5≤r≤6.∵r∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点三二项式系数的和问题1怎样利用二项展开式(1＋x)n＝C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋Cnnxn，求二项式系数的和．答在原式中令x＝1可得2n＝C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn，故(a＋b)n展开式中各个二项式系数的和等于2n.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，为什么？答在展开式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)中，令a＝1，b＝－1，则得(1－1)n＝C0n－C1n＋C2n－C3n＋…＋(－1)nCnn，即0＝(C0n＋C2n＋…)－(C1n＋C3n＋…)，所以C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…，即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效例3在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和．解设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效(4)方法一|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59.方法二|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9展开式中各项系数之和，令x＝1，y＝1得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效小结赋值法是求展开式系数和的常用方法，有时还要求奇次项、偶次项系数的和，令其中字母等于0,1，－1是常见的赋值方法．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.解令x＝0，得a0＝1；令x＝1得a8＋a7＋…＋a1＋a0＝28.①(1)a8＋a7＋…＋a1＝28－1.(2)再令x＝－1得48＝a8－a7＋a6－a5＋…＋a2－a1＋a0②①＋②得48＋28＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝2·47＋27.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3解析(1＋x)2n＋1展开式有2n＋2项．系数最大的项是中间两项，是第n＋1项与第n＋2项，它们的二项式系数为Cn2n＋1与Cn＋12n＋1.C本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2.x－1x10的展开式中，系数最大的项是()A．第六项B．第三项C．第三项和第六项D．第五项和第七项解析展开式第六项系数为－C510，第五项和第七项系数为C410、C610且C410＝C610.D本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处3．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是()A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项解析由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C3n＝C7n，由组合数的性质，得n＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．A本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处4．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.A本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0、1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}的范围.本课时栏目开关填一填研一研练一练