《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第二章精要课件 事件的独立

2.2.22.2.2事件的独立性【学习要求】1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．【学法指导】相互独立事件同时发生的概率可以和条件概率对比理解，事件独立可以简化概率计算，学习中要结合实例理解.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2填一填·知识要点、记下疑难点1．相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即．这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．2．两个相互独立事件都发生的概率，等于.即若A，B相互独立,则P(A∩B)＝.3．相互独立的性质如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.P(B|A)＝P(B)BAB每个事件发生的概率的积P(A)×P(B)A本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点一相互独立事件的概念问题13张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A的发生是否会影响B发生的概率？答因抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效问题2在问题1中求P(A)、P(B)及P(AB)，观察它们有何关系？答P(A)＝23，P(B)＝13，P(AB)＝2×13×3＝29.P(B|A)＝PABPA＝13，即P(B|A)＝P(B)．∴P(AB)＝P(A)P(B)．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效问题3若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立吗？(结合问题1说明理由)答P(B)＝23，P(AB)＝2×23×3＝49.∴P(B|A)＝PABPA＝23，即P(B|A)＝P(B)，A与B相互独立．同理可证A与B，A与B也相互独立．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效问题4互斥事件与相互独立事件有什么区别？答两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．A，B互斥，则P(A∩B)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1；A，B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)×P(B)．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效例1甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥解析对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与事件B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与事件B可能同时发生，所以事件A与事件B不是互斥事件．A本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效小结有三种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．(3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1已知下列各对事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．今从甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动．“从甲组中选出一名男生”与“从乙组中选出一名女生”．(2)一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．“从8个球中任取1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取1个，取出的仍是白球”．(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任取1个，取出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取出1个是梨”．其中为相互独立事件的有()A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)D．(2)(3)B本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点二相互独立事件同时发生的概率例2某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.0025.(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)∪(AB)表示．由于事件AB与AB互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效(3)方法一“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)∪(AB)∪(AB)表示．由于事件AB，AB和AB两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝0.0025＋0.095＝0.0975.方法二1－P(AB)＝1－(1－0.05)2＝0.0975.小结求P(AB)时注意事件A、B是否相互独立，求P(A∪B)时同样应注意事件A、B是否互斥，对于“至多”，“至少”型问题的解法有两种思路：①是分类讨论；②是求对立事件，利用P(A)＝1－P(A)来运算．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13、14.求：(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有一人译出密码的概率；(4)至多一人译出密码的概率；(5)至少一人译出密码的概率．解记事件A为“甲独立地译出密码”，事件B为“乙独立地译出密码”．(1)两个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112.(2)两个人都译不出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－131－14＝12.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出；乙译出甲译不出，即AB＋AB，∴P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝13×1－14＋1－13×14＝512.(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，∴1－P(AB)＝1－112＝1112.(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，∴1－P(AB)＝1－12＝12.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效探究点三综合应用——系统可靠性问题例3在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．解如图所示，记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A、B、C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A·B·C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)]·[1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是1－P(A·B·C)＝1－0.027＝0.973.即这段时间内线路正常工作的概率是0.973.小结(1)解答此类题目时，先分析给的元件间是串联、并联还是串并联混合关系，在此基础上结合事件的相互独立性及互斥事件、对立事件的有关知识依据“串联通易求，并联断易求”的原则，给予解答．(2)有的事件正面情况较繁，可以从其对立事件入手解决．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3(1)如图(1)添加第四个开关JD与其他三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．(2)如图(2)两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．(1)(2)解(1)[1－P(ABC)]·P(D)＝0.973×0.7＝0.6811.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2研一研·问题探究、课堂更高效(2)方法一P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)·P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.847.方法二分析要使这段时间内线路正常工作只要排除JC开且JA与JB至少有1个开的情况．则1－P(C)[1－P(AB)]＝1－0.3×(1－0.72)＝0.847.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是()A．互斥的事件B．相互独立的事件C．对立的事件D．不相互独立的事件解析∵P(A1)＝35.若A1发生了，P(A2)＝24＝12；若A1不发生，P(A2)＝34，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，D∴A1与A2不是相互独立事件．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是()A．p1p2B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2D．1－(1－p1)(1－p2)解析恰好有1人解决可分为：B甲解决乙没解决、甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为：p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处3．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是()A.160B.25C.35D.5960解析用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，则P(A)＝15，P(B)＝13，P(C)＝14，C且P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝45×23×34＝25.∴此密码被译出的概率为1－25＝35.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处4．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为______，问题得到解决的概率为_______．解析都未解决的概率为1－121－13＝12×23＝13.问题得到解决就是至少有1人能解决问题，∴P＝1－13＝23.1323本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2练一练·当堂检测、目标达成落实处一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同