《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【配套备课资源】平面上两点间的

1.5（二）1．5平面直角坐标系中的距离公式(二)[学习要求]1．了解点到直线距离公式的推导方法；2．掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题；3．进一步掌握解析法研究几何问题的方法．[学法指导]通过点到直线距离及两平行线间距离公式的探究，领会寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法，体验数形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）1．点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.2．两平行线间的距离：设直线l1为Ax＋By＋C1＝0，直线l2为Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)，则两线间的距离d＝.填一填·知识要点、记下疑难点|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）[问题情境]构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有两点之间的距离，点到直线的距离及两条直线之间的距离．上节课我们已经学习了两点之间的距离，本节我们来研究点到直线的距离及两条直线之间的距离．研一研·问题探究、课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）研一研·问题探究、课堂更高效探究点一点到直线的距离问题1两点间的距离公式是什么？答已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.问题2在平面几何中，求点P到直线l的距离的步骤如何？答先过点P作l的垂线PH，垂足为H，再求出PH的长度，这就是点P到直线l的距离．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）研一研·问题探究、课堂更高效问题3如何计算点P(－3,5)到直线l：3x－4y－5＝0的距离？答如图所示：首先求出直线l：3x－4y－5＝0的斜率k＝34，所以与l垂直的直线斜率为－43，于是，过点P且与l垂直的直线方程是y－5＝－43(x＋3)．解方程组3x－4y－5＝0，y－5＝－43x＋3.得交点H(2725，－1125)，此点就是过点P作l的垂线的垂足，由两点间的距离公式可得，|PH|＝－3－27252＋5＋11252＝345.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）研一研·问题探究、课堂更高效问题4你能说出求点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0距离的一个解题思路吗？答由直线l的斜率为－AB，可得l的垂线的斜率为BA，因此，垂线的方程可求出．解垂线与直线l的方程组成的方程组，得两直线交点的坐标，用两点间距离公式求出点P与两直线交点间的距离，即为点P到直线l距离．小结由问题4中的思路求得点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0距离为d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）研一研·问题探究、课堂更高效例1(1)求原点到直线l1：5x－12y－9＝0的距离；(2)求点P(－1,2)到直线l2：2x＋y－10＝0的距离．解(1)原点到直线l1的距离d＝|5×0－12×0－9|52＋－122＝913；(2)点P到直线l2的距离d＝|2×－1＋2－10|22＋12＝25.小结利用公式求点到直线的距离时，要注意：①直线方程要化为一般式；②对于特殊直线如垂直于两坐标轴的直线可以通过点的坐标表示，或通过数形结合求解．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线的方程．解当直线斜率不存在时，直线为x＝－2，它到A、B两点距离不相等．所以可设直线方程为：y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0.由|－k－2＋2k＋1|k2＋1＝|3k＋2k＋1|k2＋1，解得k＝0或k＝－12.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）研一研·问题探究、课堂更高效探究点二两条平行直线间的距离导引设直线l1∥l2，如何求l1与l2间的距离？问题1两条平行直线间的距离是指什么线段的长？答两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长．问题2能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？答能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可．问题3如何取点，可使计算简单？答取一条直线与坐标轴的交点，可使计算简单．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）研一研·问题探究、课堂更高效例2(1)求证：两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离是d＝|C2－C1|A2＋B2；(2)求平行线l1：12x－5y＋8＝0与l2：12x－5y－24＝0之间的距离．(1)证明在l1上任取一点P(x1，y1)，则Ax1＋By1＝－C1，l1与l2之间的距离等于点P到l2的距离d＝|Ax1＋By1＋C2|A2＋B2＝|C2－C1|A2＋B2；(2)解由(1)所得公式，直线l1与l2的距离为d＝|－24－8|122＋52＝3213.即平行线l1与l2之间的距离是3213.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）研一研·问题探究、课堂更高效小结求两平行直线间的距离有两种思路：(1)直接利用两平行线间的距离公式，但必须注意两直线方程中的x、y的系数对应相等；(2)将两平行线间的距离转化或化归为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离来求解．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2两平行直线l1，l2分别过A(1,0)与B(0,5)．若l1与l2的距离为5，求这两直线方程．解显然，直线l1，l2均不与x轴垂直．设l1的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，则点B到l1的距离为|5＋k|k2＋1＝5，所以k＝0或k＝512，l1的方程为y＝0或5x－12y－5＝0，可得l2的方程为y＝5或y＝512x＋5.故所求两直线方程分别为l1：y＝0，l2：y＝5；或l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）研一研·问题探究、课堂更高效例3用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高．证明在△ABC中，AB＝AC，P为BC延长线上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系(如右图)．设A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)(a0，b0)，则直线AB方程为bx－ay＋ab＝0，直线AC方程为bx＋ay－ab＝0，取P(x0,0)，使x0a，则点P到直线AB，AC的距离分别为|PD|＝|bx0－0＋ab|a2＋b2＝bx0＋aba2＋b2，|PE|＝|bx0＋0－ab|a2＋b2＝bx0－aba2＋b2.点C到直线AB的距离为|CF|＝|ab＋ab|a2＋b2＝2aba2＋b2，则|PD|－|PE|＝2aba2＋b2＝|CF|.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）研一研·问题探究、课堂更高效小结解析法的实质就是几何问题代数化，图形性质坐标化，利用解析几何中的列式运算代替几何中逻辑推理，从而减少几何证题中的一些困难．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3已知AD是Rt△ABC斜边BC的中线，用解析法证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．证明以直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，设B(b,0)，C(0，c)，则D(b2，c2)，A(0,0)．∵|AB|2＋|AC|2＝b2＋c2，2(|AD|2＋|DC|2)＝2(b24＋c24＋b24＋c24)＝b2＋c2.∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2).本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于()A．7B．5C．3D．2练一练·当堂检测、目标达成落实处A解析直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝5－(－2)＝7.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处2．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于()A．52B.522C.2D．32解析d＝|2－－3|1＋1＝52＝522.B本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处3．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________.解析由两直线平行知，a＝8，d＝|15－5|5＝2，∴a＋d＝10.10本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处4．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．解(1)由点斜式方程得，y－5＝－34(x＋2)，∴3x＋4y－14＝0.(2)设m的方程为3x＋4y＋c＝0，则由平行直线间的距离公式得，|c＋14|5＝3，c＝1或－29.∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.5（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，会使问题更加清晰．3．已知两平行直线间的距离，即可利用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．本课时栏目开关填一填研一研练一练