《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第1章1.2.2同角三

1.2.2（一）1.2.2同角三角函数关系(一)【学习要求】1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．2．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值和计算．【学法指导】1．推导和牢记同角三角函数间的基本关系是进行三角函数式恒等变形的基础和前提．2．要注意公式sin2α＋cos2α＝1及tanα＝sinαcosα的直接使用，公式逆用，公式变形用．利用平方关系sin2α＋cos2α＝1求值时，要注意符号的选择．3．已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能．在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边所在的象限，有时由于角的象限不确定，因此解的情况不止一种.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）填一填·知识要点、记下疑难点1．任意角三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r＝OP＝x2＋y20.则sinα＝，cosα＝，tanα＝.yrxryx本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）填一填·知识要点、记下疑难点2．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：.(2)商数关系：．3．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝；cos2α＝；(2)tanα＝sinαcosα的变形公式：sinα＝；cosα＝.sin2α＋cos2α＝1tanα＝sinαcosα(α≠kπ＋π2，k∈Z)1－cos2α1－sin2αcosαtanαsinαtanα本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点一利用任意角三角函数的概念推导平方关系和商数关系问题1利用任意角的三角函数的定义证明同角三角函数的平方关系和商数关系．答设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合．P到原点的距离为r＝x2＋y20，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效于是sin2α＋cos2α＝(yr)2＋(xr)2＝y2＋x2r2＝1，sinαcosα＝yrxr＝yx＝tanα.即sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效问题2平方关系sin2α＋cos2α＝1与商数关系tanα＝sinαcosα成立的条件是怎样的？答平方关系sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立；商数关系tanα＝sinαcosα中α是使tanα有意义的值，即α≠kπ＋π2，k∈Z.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效探究点二已知一个角的三角函数值求其余两个三角函数值已知某角的一个三角函数值，再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解．例如：已知sinα＝35，且α是第二象限角，则cosα＝tanα＝.－45－34本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效类型2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，然后求解，这种情况一般有两组解．例如：已知tanθ＝－3，求sinθ，cosθ.答∵sinθcosθ＝tanθ＝－3.∴sinθ＝－3cosθ.由sin2θ＋cos2θ＝1sinθ＝－3cosθ.∴4cos2θ＝1，cos2θ＝14.当θ为第二象限角时，cosθ＝－12，sinθ＝32；当θ为第四象限角时，cosθ＝12，sinθ＝－32.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效类型3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角在哪个象限，那么就需要进行讨论．例如：已知cosα＝m，且|m|1，求sinα，tanα.答∵cosα＝m，且|m|1，∴sinα＝±1－cos2α＝±1－m2.当α在第一、二象限时，sinα＝1－m2，tanα＝1－m2m；当α在第三、四象限时，sinα＝－1－m2，tanα＝－1－m2m；当α终边在y轴上时，sinα＝±1，tanα不存在．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效[典型例题]例1已知cosα＝－817，求sinα，tanα.解∵cosα＝－8170且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sinα＝1－cos2α＝1－－8172＝1517.tanα＝sinαcosα＝1517－817＝－158.(2)如果α是第三象限的角，可得到：sinα＝－1517，tanα＝158.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效小结同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1已知tanα＝43，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．解由tanα＝sinαcosα＝43，得sinα＝43cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得169cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝925.又α是第三象限角，∴cosα＝－35，sinα＝43cosα＝－45.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效例2已知tanα＝2，求下列代数式的值．(1)4sinα－2cosα5cosα＋3sinα；(2)14sin2α＋13sinαcosα＋12cos2α.解(1)原式＝4tanα－23tanα＋5＝611.(2)原式＝14sin2α＋13sinαcosα＋12cos2αsin2α＋cos2α＝14tan2α＋13tanα＋12tan2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效小结①关于sinα、cosα的齐次式，可以通过分子、分母同除以cosα或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值．②注意(2)式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tanα的代数式．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2已知tanα＝3，求下列各式的值．(1)3cosα－sinα3cosα＋sinα；(2)2sin2α－3sinαcosα.解因为已知tanα＝3，所以逆用公式把弦函数化成切函数．(1)原式＝3cosα－sinαcosα3cosα＋sinαcosα＝3－tanα3＋tanα＝3－33＋3＝－2＋3.(2)原式＝2sin2α－3sinαcosαsin2α＋cos2α＝2sin2α－3sinαcosαcos2αsin2α＋cos2αcos2α＝2tan2α－3tanαtan2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效例3已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，求：(1)sinθ－cosθ；(2)sin3θ＋cos3θ.解(1)由sinθ＋cosθ＝15两边平方得，sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝125，∴2sinθcosθ＝－2425，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925.又∵sinθcosθ0，θ∈(0，π)，∴cosθ0，θ∈π2，π，∴sinθ－cosθ＝75.(2)sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝15×1＋1225＝37125.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效小结对于这类利用已知α的一个三角函数值或者几种三角函数值之间的关系及α所在的象限，求其他三角函数值的问题，我们可以利用平方关系和商数关系求解．其关键在于运用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等价转化，分析出解决问题的突破口．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3已知sinαcosα＝14，且π4απ2，求cosα－sinα的值．解由sinαcosα＝14得(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－12＝12.∵π4απ2，∴cosαsinα，∴cosα－sinα0，∴cosα－sinα＝－22.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处1．α是第四象限角，cosα＝1213，则sinα＝________.解析∵α是第四象限角，∴sinα0，∴sinα＝－1－12132＝－513.－513本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处2．若cosα＝－35，且α∈π，3π2，则tanα＝________.解析∵cosα＝－35且α∈π，3π2，∴sinα＝－45，∴tanα＝43.43本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处3．若tanθ＝－2，则sinθcosθ＝________.解析sinθcosθ＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tanθtan2θ＋1＝－25.－25本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处4．已知sinα＝15，求cosα，tanα.解∵sinα＝150，∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝1－125＝265，tanα＝sinαcosα＝612；当α为第二象限角时，cosα＝－265，tanα＝－612.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，sin8αcos8α＝tan8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在象限来决定的，切不可不加分析，凭想象乱写公式．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.2.2（一）练一练·当堂检测、目标达成落实处3．在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.本课时栏目开关填一填研一研练一练