高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《第一章 解三角形归纳整合

网络构建专题归纳高考真题解读高考知识网络本章归纳整合网络构建专题归纳高考真题解读高考解三角形常见类型及解法在三角形的6个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：要点归纳1．已知条件应用定理一般解法一边和二角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△＝12acsinB，在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角，再由A＋B＋C＝180°求出另一角．S△＝12absinC，在有解时只有一解网络构建专题归纳高考真题解读高考已知条件应用定理一般解法三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C.S△＝12absinC，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理求出c边．S△＝12absinC可有两解，一解或无解网络构建专题归纳高考真题解读高考三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．若sinB＝1，一解；若sinB1，两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa.若sinB1，无解；2.网络构建专题归纳高考真题解读高考解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sinA＝a2R(R为△ABC外接圆半径)，cosA＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断．3．网络构建专题归纳高考真题解读高考解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．4．网络构建专题归纳高考真题解读高考专题一正、余弦定理的基本应用应用正、余弦定理解三角形问题往往和面积公式、正、余弦定理的变形等结合．在解三角形时，注意挖掘题目中的隐含条件和正、余弦定理的变形应用，注意公式的选择和方程思想的应用．网络构建专题归纳高考真题解读高考在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，【例1】设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和cb＝12＋3，求A和tanB的值．解由余弦定理cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，因此A＝60°.在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.由已知条件，应用正弦定理12＋3＝cb＝sinCsinB＝sin120°－BsinB＝sin120°cosB－cos120°sinBsinB＝32tanB＋12，从而tanB＝12.网络构建专题归纳高考真题解读高考在高考中，正、余弦定理与向量、三角函数的综合命题出现的较频繁，解决与三角形有关的问题时，有时除了运用正、余弦定理外，还会用到三角形的面积公式，两角和与差的三角函数公式，倍角、半角公式、向量的计算公式等．因此，应结合题目给定条件，综合运用正弦定理、余弦定理以及相关知识解题．专题二正、余弦定理解三角形中的综合问题网络构建专题归纳高考真题解读高考在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cosC＝c·cosB，△ABC的面积S＝10，c＝7.(1)求角C；(2)求a，b的值．解(1)∵(2a－b)cosC＝ccosB，∴(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，2sinAcosC－sinBcosC＝cosBsinC，即2sinAcosC＝sin(B＋C)，∴2sinAcosC＝sinA.【例2】3∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosC＝12，∴C＝π3.网络构建专题归纳高考真题解读高考(2)由S＝12absinC＝103，C＝π3，得ab＝40.①由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝(a＋b)2－2ab1＋cosπ3，∴72＝(a＋b)2－2×40×1＋12.∴a＋b＝13.②由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.网络构建专题归纳高考真题解读高考解斜三角形应用题的步骤：(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、方位角等．(2)根据题意画出图形．(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答．专题三解斜三角形在实际问题中的应用网络构建专题归纳高考真题解读高考如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8s后监测点A,20s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1)设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01km)．解(1)由题意PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km)．∴PB＝(x－12)(km)，PC＝(18＋x)(km)．【例3】网络构建专题归纳高考真题解读高考在△PAB中，AB＝20km，cos∠PAB＝PA2＋AB2－PB22PA·AB＝x2＋202－x－1222x·20＝3x＋325x.同理cos∠PAC＝72－x3x.∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴3x＋325x＝72－x3x，解得x＝1327(km)．(2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·3x＋325x＝3×1327＋325≈17.71(km)．所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71km.网络构建专题归纳高考真题解读高考与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系．方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁．函数与方程思想在数学中有着广泛的应用，本章在利用正、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想．专题四函数与方程思想网络构建专题归纳高考真题解读高考在△ABC中，已知ABC，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a，c的长．【例4】解由正弦定理得asinA＝csinC，∵A＝2C，∴asin2C＝csinC，∴a＝2ccosC.又∵a＋c＝8，∴cosC＝8－c2c，①由余弦定理及a＋c＝8，得网络构建专题归纳高考真题解读高考cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋42－c28a＝8－c2＋42－c288－c＝10－2c8－c.②由①②知8－c2c＝10－2c8－c，整理得5c2－36c＋64＝0.∴c＝165或c＝4(舍去)．∴a＝8－c＝245.故a＝245，c＝165.网络构建专题归纳高考真题解读高考解斜三角形是高考的热点内容，经常和三角化简、向量运算等联系在一起综合考查，既可能以选择题和填空题的方式也可能以解答题的形式进行考查，解答题的难度属于中低档的问题．具体的命题过程有如下规律：一是考查三角形的角的问题．求三角形的角常用到的工具有三角形内角和为180°，正、余弦定理及其变式，经常与三角化简求值联系在一起考查．二是考查三角形的面积．三角形面积的处理途径比较多，需要根据条件，恰当的进行选择，实际上最终转化为三角形的边角问题解决．命题趋势网络构建专题归纳高考真题解读高考三是对解三角形的综合问题的考查．一般题目给出边角满足的关系式，问题处理的重点是正、余弦定理的选择．需要熟练掌握正、余弦定理和三角形面积公式以及之间的联系，灵活应用二倍角公式、两角和与差公式等进行化简；不仅会利用方程思想求值，还要会利用函数思想讨论最值问题．网络构建专题归纳高考真题解读高考单击此处进入高考真题高考真题