第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题(七年级)

1第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题（七年级）一、选择题（每小题5分，共30分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的．）1．以下四个论断中不正确的是()A．在数轴上，关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B．两个有理数互为相反数，则它们在数轴上对应的两个点关于原点对称C．两个有理数不等，则它们的绝对值不等D．两个有理数的绝对值不等，则这两个有理数不等2．我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形.则从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的是()3．在代数式2xy中，x与y的值各减少25％，则该代数式的值减少了()A．50％B．75％C．6437D．64274．如果0cba，且cba.则下列说法中可能成立的是()A．a、b为正数，c为负数B．a、c为正数，b为负数C．b、c为正数，a为负数D．a、c为负数，b为正数5．如图，若AB∥CD，50,30,90,30CNPHMNFGHEFA，则GHM等于（）A．50°B．40°C．30°D．20°6．商家获得的利润按以下公式计算：利润=售价－进价－售价×税率.若税率由b%调为c%，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的()A．%1%1cb倍B．cb11倍C．%1%cb倍D．%%1cb倍二、填空题（每小题5分，共30分。）7．计算：2325212)75.0(19121257=．A．B．C．D．50°30°30°FNABCDGMPEH第5题图28．关于x的方程18241xx的解是．9．方程|2015x－2015|=2015的根是．10．若0pnm，则的值等于．11．若P是质数，且P+3整除5P，则2015P的末位数是．12．时钟的分针和时针在下午4点至5点成45°角的时刻是．三、解答题（每小题15分，共60分，写出推理、运算的过程及最后结果．）13．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子21xx取最小值．．．时，相应的x的取值范围是，最小值．．．是”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了。”小明说：“利用数轴可以解决这个问题。”他们把数轴分为三段：1x，21x和2x，经研究发现，当21x时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：（1）当式子8642xxxx取最小值．．．时，相应的x的取值范围是，最小值．．．是．(2)已知2482xxy，求相应的x的取值范围及y的最大值．．．。写出解答过程．314．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=；若∠COF=n°，则∠BOE=；∠BOE与∠COF的数量关系为．（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？如成立请写出关系式；如不成立请说明理由．（3）在图3中，若∠COF=65°，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．第14题图415．(本小题满分15分)老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度为25千米／小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米／小时．学生步行的速度为5千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．16．有依次排列的3个数：3，9，8，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，10，1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？5第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题七年级参考答案一、选择题1．D2．C3．C4．C5．B6．A二、填空题7．32278．49．0,2xx10．－311．812．下午4点11713分或4点30分三、解答题13．（1）64x和8；（2）当2x，时xxxy22482当24x，时1662482xxxy当4x，时xxxy22482所以2x时，有最大值4x．14．（1）∵∠COE是直角，∠COF=34°，∴∠EOF=90°﹣34°=56°，由∵OF平分∠AOE．∴∠AOE=2∠EOF=112°，∴∠BOE=180°﹣112°=68°；当∠COF=n°，∴∠EOF=90°﹣n°，∴∠AOE=2∠EOF=180°﹣2n°，∴∠BOE=180°﹣（180°﹣2n°）=2n°，所以有∠BOE=2∠COF．故答案为：68°，2n°，∠BOE=2∠COF；（2）∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立．理由如下：设∠COF=n°，如图2，∵∠COE是直角，∴∠EOF=90°﹣n°，又∵OF平分∠AOE．∴∠AOE=2∠EOF=180°﹣2n°，∴∠BOE=180°﹣（180°﹣2n°）=2n°，即∠BOE=2∠COF；（3）存在．理由如下：如图3，∵∠COF=65°，∴∠BOE=2×65°=130°，∠EOF=∠AOF=90°﹣65°=25°，而2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半，6∴2∠BOD+25°=（130°﹣∠BOD），∴∠BOD=16°．15．要使师生三人都到达博物馆的时问尽可能短，可设计方案如下：设学生为甲、乙二人．乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师带乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．5分设老师带甲乘摩托车行驶了x千米，用了20x小时，比乙多行了这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了乙遇到老师时，已经步行了离博物馆还有要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有13分即甲先乘摩托车24千米，用时1.2小时，再步行9千米，用时1.8小时，共计3小时．因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．15分16．一个依次排列的n个数组成一个n一数串：aaaan123，，，，，2分依题设操作方法可得新增的数为：aaaaaaaann2132431，，，，所以，新增数之和为：()()()()(*)aaaaaaaaaannn213243116分原数串为3个数：3，9，8第1次操作后所得数串为：3，6，9，1，88分根据（*）可知，新增2项之和为：61583()第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，10，1，9，810分根据（*）可知，新增2项之和为：33109583()12分按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：7()()139810083520．15分