《结构力学》详细解析2015

第2章结构的几何构造分析§2-1几何构造分析的几个概念几何组成分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以作为结构。几何不变体系和几何可变体系几何不变体系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状保持不变的体系。几何可变体系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变的体系。一、自由度Ay0xBy0x自由度：描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。如果体系有了自由度，必须消除，消除的办法是增加约束。约束有三种：链杆－１个约束单铰－２个约束刚结点－３个约束ACB三、约束平面内一个动点A，其位置要由两个坐标x和y来确定，所以一个点的自由度等于2。yxAyx二、刚片平面体系作几何组成分析时，不考虑材料应变，所以认为构件没有变形。可以把一根杆、巳知是几何不变的某个部分、地基等看作一个平面刚体，简称刚片。平面内一个刚片，其位置要由两个坐标x、y和AB线的倾角α来确定，所以一个刚片在平面内的自由度等于3。分清必要约束和非必要约束。四、多余约束五、瞬变体系及常变体系0yF2sin0NACPFF2sinPNACFF0,NACFFpACBFpCABllC’FpC’FpαFNACαFNBC六、瞬铰.CODABO’.§2-2平面几何不变体系的组成规律讨论没有多余约束的几何不变体系的组成规律。1、一个点与一个刚片之间的连接方式规律1一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。AB由不共线的两根链杆联结一个新结点的装置，称为二元体。（二元体规则）在一个体系上增加或撤去一个二元体，则体系的几何性质不会改变。C2、两个刚片之间的连接方式规律2两个刚片用一个铰和一根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。被约束对象：刚片I，II提供的约束：铰A及链杆1IIIA12、两个刚片之间的连接方式规律4两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。3III21提供的约束：链杆1，2，3被约束对象：刚片I，II两根链杆的约束作用相当于一个瞬铰（两链杆延长线的交点）的约束作用。A3、三个刚片之间的连接方式规律3三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。IIIIIICB被约束对象：刚片I，II，III提供的约束：铰A、B、C刚片I,II——用铰A连接刚片I,III——用铰B连接刚片II,III——用铰C连接AIIIIIICBA规律3的铰可以是实铰也可以是瞬铰。关于无穷远瞬铰的情况：IIIIIIA图示体系，瞬铰B、C在两个不同方向的无穷远处，它们对应于无穷线上两个不同的点，铰A位于有限点。由于有限点不在无穷线上，故三铰不共线，体系为几何不变且无多余约束。图示体系，形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个铰A、B、C位于同一直线上，故体系为瞬变体系，见图c）。IIICIIIABAIIIIIB1I2C图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多余约束。BC利用组成规律可以两种方式组成一般的结构体系：（1）从基础出发组成（2）从内部刚片出发组成结论1、如果体系只通过三根既不全平行也不交于一点的支杆与基础相联，则从内部刚片出发进行组装。可先在体系内部选取一个或几个刚片；然后，依次利用组成规则将它们形成一个或几个扩大的新刚片，再逐步扩大到整个内部体系；最后，将扩大的整个内部几何不变体系与基础组装起来，从而形成整个体系。2、如果体系与基础相联的支杆多于三根时，则从基础出发进行组装。应考虑先把基础作为一个刚片，将它与体系内部的其它刚片一起进行几何构造分析，形成一个扩大的新刚片。然后，逐步组装扩大，直至形成整个体系。否则，会使分析无法进行下去。3、进行等效代换ⅰ大刚片已组装好的几何不变部分；ⅱ虚铰两根链杆；ⅲ直链杆复杂链杆（折、曲）；ⅳ等效的多个单铰（刚）约束复铰（刚）约束ⅴ一个刚片整个基础；规律3两个刚片用一根链杆和一个铰相联结，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。规律5两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。两个刚片之间的联结方式规律1一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。一个点和一个刚片之间的联结方式三个刚片之间的联结方式规律4三个刚片两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。三个点之间的联结方式规律1不共线的三个点用三根链杆两两相连，则所组成的铰结三角形体系是一个几何不变的整体，并且没有多余约束。.1,2.2,3.1,3例1....1,22,31,31,21,32,3例2例3无多余约束的几何不变体系几何瞬变体系几何瞬变体系123456123456123456123456(2,3)123456123456(2,3).(1,3)(1,2)分析1(1,2)(2,3)(1,2)(2,3)(2,3)(1,2)几何瞬变体系(1,2)ABCDEFABCDEF2,31,31,2ABCDEF2,31,31,2分析2几何瞬变体系几何不变体系ABCDEFGHABCDEFGHJK(1,2)(2,3)ABCDEFGHJK(1,2)(2,3)ABCDEFG(2,3)(1,3)分析3几何不变体系§2-3平面杆件体系的计算自由度运用三角形规律可以对常见的体系进行构造分析，并定量回答以下两个问题：1)体系是否几何可变？自由度S是多少？2)体系有无多余约束？多余约束的个数n是多少？复杂的体系往往并不是按照三角形规律组成的，为了对它们进行构造分析，求出其S和n，引进计算自由度W的概念，然后根据W来得出关于S和n的一些定性结论。一、自由度S的计算方法设体系中各个约束均不存在，在此情况下计算各部件的自由度总和a;在全部约束中确定非多余约束c;则有：caS(2-1)此公式应用比较困难，事先必须区分清楚哪些是多余约束，那些不是，这个问题涉及到体系的具体构造，体系越复杂，这个问题越难以解决。为了回避这个困难，定义一个新参数W计算自由度。二、计算自由度W的概念设体系中各个约束均不存在，在此情况下计算各部件的自由度总和a;在全部约束中确定全部的约束d;则有：daW(2-2)由于全部的约束数d和非多余约束数c的差值是多余约束nnWS(2-3)公式(2-3)表示了计算自由度W,自由度S和多余约束之间的关系。注意，在公式(2-2)中，作为部件的刚片是指内部没有多余约束的刚片，如果有，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束总数时加以考虑。二、计算自由度W的概念nWS(2-3)由于自由度S多余约束n均不可能为负数，可得出：WS(2-4)Wn(2-5)因此：W是自由度S的下限；(－W)是多余约束n的下限。三、约束形式及特点（杆与杆之间的连接）体系是由部件（刚片或结点）加上约束组成的。刚片内部：是否有多余约束。内部有多余约束时应把它变成内部无多余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束总数时应当考虑进去。复铰：连接两个以上刚片的铰结点。36－2×（1）=49－2×（2）=5单链杆：连接两个铰结点的链杆。复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。连接n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。连接n个刚片的铰相当于（n-1）个单铰单刚结点两个互不相连的刚片，若用刚结点连接，则两者被连为一体成为一个刚片，自由度由6减少为3。一个单刚结点相当于3个约束。复刚节点三个互不相连的刚片，若用刚结点连接，自由度由9减少为3。由此类推:连接n个刚片的复刚结点，它相当于n－1个单刚结点或3(n－1)个约束。二、平面体系的计算自由度W1、平面刚片体系公式——将体系中刚片为被约束对象，铰、刚结和链杆为约束。则计算自由度公式为：m—刚片数（无多余约束）；g—单刚结点（固定支座）总数；h—单铰总数；b—（单链杆+支座链杆)总数。在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。3(32)Wmghb连四刚片n=3连三刚片n=2连两刚片n=12、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有a个无铰封闭框，约束数应加3a个。3、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆，固定端相三于个支承链杆。！注意：1、复连接要换算成单连接。完全铰节点不完全铰节点不完全铰节点2个单铰1个单铰1个单铰26例1试求图示体系的计算自由度。解：m=3g=0h=2b=533(225)990WABCIIIIII123例2：求图示体系的计算自由度。解：m=2g=1h=1b=5AIII1234532(31215)W6104m=1，a=1，h=0，b=4+3×2＝10则：W=3m－(2h+r+3×a)=3×1－10－3×1＝－10m=7，h=9，b=3W=3×m－2×h－b=3×7－2×9－3=0例3解：解：试求图示体系的计算自由度。图1图2二、平面体系的计算自由度W2、平面杆件体系公式——将体系中结点为被约束对象，链杆为约束。（多用于桁架和组合结构）则计算自由度公式为：j—结点数；b—（单链杆+支座链杆)总数。2Wjb3.混合公式——将体系中刚片和结点为被约束对象，铰、刚结和链杆为约束，则计算自由度公式为：m、j、g、h、b意义同前。(32)(32)Wmjghb29例：求图示体系的计算自由度。解:用混合公式计算。m=1j=5g=2b=10(3125)(3210)W13163BDACE12345678910I(32)(32)Wmjghb例:求图示体系的计算自由度。BDACE12345678910I解:用公式一计算8,2,9,3mghb33238322933Wmghb31例：求图示体系的计算自由度。解:用混合公式计算。m=2j=4h=1b=12(3224)(2112)W141401BDA2345678910CE1112III(32)(32)Wmjghb三、自由度与几何体系构造特点0W0W0W体系几何可变；体系几何不变时，无多余约束。体系有多余约束。W=3×４－（２×４)－３＝１m=４h=４b=３例：一个体系若求得W0，一定是几何可变体系；若W≤0，则可能是几何不变体系，也可能是几何可变体系，取决于具体的几何组成。所以W≤0是体系几何不变的必要条件，而非充分条件。Ｗ＝２×４－４－３＝１j=4b=4+3j=8b=12+4Ｗ＝２×8－12－4＝0例：3(32)Wmghb2Wjb2Wjb例：试求图示体系的计算自由度。解：3033mghbABCIIIIII123例：求图示体系的计算自由度。解：AIII123452115mghb3(32)Wmghb33(233)990W32(31215)W6104例：求图示体系的计算自由度。BDACE12345678910I解:用混合公式计算。15210mjgb(3125)(3210)W13163(32)(32)Wmjghb例:求所示体系的计算自由度。ABCDEF去除所有的约束-内部有多余约束，在截面G切开：GABCDEF刚片数：m=1ABG三处单刚结点h=0链杆个数：b=4单铰个数：g=310402331323bhmWABCDEFGABCDEF这个体系显然几何不变，S=010402331323bhmW10)10(0WSn因此这是一个具有10个多余约束的几何不变体系。例:求所示体系的计算自由度。ABCDEFGHIJKL例：试求图示体系的计算自由度，并进行几何构造分析。ABCDEFGHIJ