大学物理振动波动课件

一.广义振动振动、波动—横跨物理学所有领域—物理量在中心值附近作周期性变化1.机械振动位置或位移特征运动学—周期性动力学—恢复力形态轨迹—直线或曲线形式—平动(质点)或转动(刚体)2.非机械振动电磁振荡、交流电……以上具有相似物理规律和研究方法概述第九章振动1.二.最基本的振动——简谐运动简谐运动复杂振动叠加分解理想模型一维平动—弹簧振子一维转动—复摆（含单摆）2.9－1简谐运动振幅周期与频率相位一.简谐运动0lxoAAmk以平衡位置为原点、建立图示坐标系偏离xkxFF弹簧振子(一维平动集中质量＋弹性系统)xxmktx222ddk：劲度系数、一般为振动常数：角频率mk2—系统属性)cos(tAxA、：积分常数—初始条件动力学方程运动微分方程运动方程等价判别式xFm3.a.x—平衡位置量度注b.k、—固有性质与初始条件无关A、—初始条件与固有性质无关)cos(dd222tAtxa)cos(tAx)sin(ddtAtxvc.vmam周期性函数t或(t+)d.推广—角谐振动(5°(9－3))4.[例]证明下列振动仍为简谐振动,并求固有量(k,)（1）将弹簧振子竖直悬挂，已知平衡时弹簧伸长量为l0（2）如图所示，两弹簧串联，水平面光滑l0kmk1k2m讨论:动力学分析—判断振动性质，求固有量(动和静)平衡位置，偏离量x()、力(矩)分析…5.1.振幅A最大位移表征能量maxxA)cos(tAxAAxT2Tto二.简谐运动的运动学描述2.周期与频率])(cos[TtA)2cos(tA比较2T即2π2TkmTπ2弹簧振子固有周期单位时间,全振动次数的2倍、T、—固有量，取决振动系统动力学特征6.kt23.相位”“)][(ttf由前知xva—t时状态(相)kt22kt223kt2k=0,1,2,…x=A,v=0x=0,v0x=－A,v=0x=0,v0(或)2一般取k=0描述±2k—重复性)cos(tAx如t=0则—初始状态7.—任意角(4个象限))arctan()(002020xvvxA4.常数A的确定(解析法)、t=0cos0Axsin0Av再结合v0(0、=0、0)判断或A0arccosx8.9－2旋转矢量一.简谐运动与匀速圆周运动如图所示A旋转矢量xoA0M0P),(000PMt),(PMt2πttmvvxyAnaaoAtxPM9.矢端M投影点P关系运动性质匀速率圆周运动简谐振动合与分角频率同上同上角速度(逆)t=0角位置t时角位置相位初相位(t＋)数值相等M2πttmvvxyAnaaoP10.注b.旋矢图相位状态一一对应a.规定＋－Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限正角，一般：Ⅳ象限负角二.旋转矢量法1.表示谐振动（三要素）oxPx0v0A3)3cos(tAx2.描绘x－t曲线3.确定初相位(或相位)(几何法)11.xAoA2A20v2/A1AP10v由图知32313432讨论:如振子P，t=0时处于下状态，求(1)0200vAx(2)0200vAx;1212)()(tt相位差(初相差)规定逆时针在前为超前4.相位差(同频率)—两振动“步调”对(a)图x2超前x1(2－1)≤(b)图x1超前x2/2或x2滞后x1/2ox11A22A图(a)ox1A2A图(b)2312.xto0212Ax1Aotxo2Ax1Ao21,05.t或xAoA2/AAP回到平衡位置(第一次)如振子由初始状态(x0=－A/2,v00)由旋矢图知6523t由此与t可互求6.谐振动合成(9－5)如)12(2kk同相“步调一致”反相“步调相反”,2,1,0K13.三.谐振动的运动学分析1.已知运动方程→一系列物理量2.由已知条件→运动方程(确定三要素)→其它物理量[例1]一质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m,周期为4s,起始时刻物体在x=0.04m处,向ox轴负方向运动（如图）.试求:(1)t=1.0s时,物体所处的位置和所受的力；o08.004.004.008.0m/xv(2)由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间.14.3π0sin0sin0Av分析:,s4,m08.0,kg01.0TAm004000m,v.,xt求(1)Fxt,,s0.1o08.004.004.008.0m/xva.先求运动方程(三要素),其中为关键b.和t求解解析法旋转矢量法A3πo08.0m/x04.0如:解析法cos08.004.00x由判断3π旋矢法由旋矢图3π知(2)x=0.04m到-0.04m最短时间15.由图知32o12cm)(x2s)(t[例2]一简谐运动的x–t曲线，如图所示，求：(1)初相；(2)求运动方程,并用旋矢表示之；(3)第一次到达处的速度和加速度。分析:a.简便路径:用旋矢法求和,并结合相位法求第三问b.旋矢图Ax222o210AP121AA414.1cm)(xt6111第一次到达次处相位Ax2242t比较：解析法、旋矢法、相位法讨论:116.sinmglMsin5如(物理摆)—一维角谐振动模型lOAm转动正向TFP9－3单摆和复摆一.复摆)(dd22Jmglt运动方程(准谐振动))(mglM)(mglK)(2Jmgl)cos(mt如图偏离平衡位置mglJTπ22l—质心c至转轴o距离二.单摆(数学摆)—复摆一个特例glTπ22mlJ*lP（C点为质心）CO转动正向有17.gmORFr[例1]一半径为r的均质球,可沿半径为R的固定大球壳的内表面作纯滚动(如图)试求圆球绕平衡位置作微小运动的动力学方程及其周期.分析:偏离力(矩)分析222ddt)(sintmaFmg)sin(252mrFr22dd)(trRatratglrRT5)(7π2TF18.c[例2]细杆(m,l)竖直时,水平轻质弹簧(k)处于自然状态,求细杆作小幅摆动时的周期T。)2(322klmgmlT分析:偏离对o:LKo222dd31)]cos(sinsin2[tmllkllmgFθgm1cossin很小时,有2222dd31)2(tmlkllmg讨论:动力学分析步骤?19.t:系统能量以弹簧振子为例9－4简谐运动的能量)(sin21212222ktAmmEv)(cos21212222PtAmkxECkAkxmvEEE222Pk212121守恒4T2T43T能量otT势能动能总能量kEpExAApExEBCO20.简谐运动——能量特征——能量守恒讨论:能量法——判断广义简谐运动CkxmE222121v0)2121(dd22kxmtv振子偏离平衡位置x时以弹簧振子为例：两边对t求导0dd22xmktx21.rJ,km[例]求图示系统的振动频率.设轻绳与定滑轮间无相对滑动.xoxx0分析:a.寻找平衡位置,建立图示坐标系b.Ⅰ法动力学法偏离x平动与转动隔离maFmgT对m:对J:JxxkrFT)(0m与J:raxJmrkrtx2222ddJmrkrt2222dd对J:对m:0kxmg2——系统固有性质Jmrkr22222.rJ,kmxoxx0偏离x系统(m、k、J、地球)c.Ⅱ法能量法CxxkJmgxmvE2022)(212121两边对t求导，0kxmgrvra并考虑，，0)(dddd0vxxktJmgvtvmv可得同样结果xJmrkrtx2222dd23.11A1xxO2x2A2)cos(111tAx)cos(222tAx9－5简谐运动的合成一.两个同方向同频率简谐运动的合成)cos(21tAxxx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA与相位差有关仍为谐振动，不变Ax24.21AAAa.如π212k)10(，，k讨论:21AAA12b.如π)12(12k)10(，，k)(211AA)(122AA或如021AAA静止a.以上为两相干波干涉的基础注b.建议：对下列特殊情况可直接用旋矢法求解如21AA21AA(同相或反相),21AA和对x或y轴对称,同相合成最强oTxt反相合成最弱tTox25.)SI()3cos(3.01tx[例]一谐振动分别与下列谐振动合成,求合运动方程.)SI()3cos(4.02tx(1))SI()34cos(4.03tx(2))SI()3cos(3.04tx(3))SI()65cos(4.05tx(4)比较：旋矢法与解析法讨论:26.合振动轨迹方程(消去t)——椭圆方程)cos(11tAx)cos(22tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx二.两个相互垂直同频率简谐运动的合成27.讨论:a.所含各种情况=0,直线(谐振动)xAAy21=/2,3/2正椭圆如A1=A2圆—其他情况斜椭圆b.右旋与左旋如=2-10如=2-10)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxx超前y逆时针旋转(左旋)y超前x顺时针旋转(右旋)28.*三.多个同方向同频率简谐运动的合成)cos(tAxtAxcos11)2cos(33tAx])1(cos[NtAxNN如:)cos(22tAx相位差依次恒为合运动仍为简谐运动0A0AR2NoCBDEGR如021AAAAN则2sin2sin0NAA21NA29.讨论:a.若k22,1,0k0A0A0A0A0A0AA0AA0ARNoCBDb.若kN2,3,2,,2,1NNNkk但（N个矢量构成一闭合图形）0A如（如图）721,5则kN如（如图）1442,5则kN0A72727214414414414472同相合成0NAA最大30.c.次级大)12(k四.两个同方向不同频率简谐运动合成—拍一般：合运动——不是谐振动讨论,的情况21AA211231.)π2cos(1111tAx)π2cos(2222tAx21xxx合运动)2π2](cos2π2cos2[12121ttA如02121AA随t变化的振幅)(tA振动因子221可证明拍频——振幅变化的频率12拍32.比较证明(1)解析法)2π2cos(22π2cos2121121tAtA)]1(2π2cos[212121