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1习题习题习题习题11-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为(cossin)r=Rωtiωtj+vvv其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：(1)由(cossin)r=Rωtiωtj+vvv，知：cosxRtω=，sinyRtω=消去t可得轨道方程：222xyR+=∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；（2）由drvdt=vv，有速度：sinRcosvRtitjωωωω=−+vvv而vv=vv，有速率：1222[(sin)(cos)]vRtRtRωωωωω=−+=。1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为24(32)rtitj=++vvv，式中r的单位为m，t的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从0=t到1=t秒的位移；（3）0=t和1=t秒两时刻的速度。解：（1）由24(32)rtitj=++vvv，可知24xt=，32yt=+消去t得轨道方程为：x=2(3)y−，∴质点的轨道为抛物线。（2）由drvdt=vv，有速度：82vtij=+vvv从0=t到1=t秒的位移为：1100(82)42rvdttijdtij∆==+=+∫∫vvvvvv（3）0=t和1=t秒两时刻的速度为：(0)2vj=vv，(1)82vij=+vvv。1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为22rtitj=+vvv，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。解：(1)由drvdt=vv，有：22vtij=+vvv，dvadt=vv，有：2ai=vv；（2）而vv=vv，有速率：12222[(2)2]21vtt=+=+∴tdvadt=221tt=+，利用222tnaaa=+有：22221ntaaat=−=+。1-4．一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为1y，升降机上升的高度为2y，运动方程分别为21012yvtgt=−（1）22012yvtat=+（2）12yyd+=（3）（注意到1y为负值，有11yy=−）联立求解，有：2dtga=+。解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为'gga=+，利用21'2dgt=，有：22'ddtgga==+。21-5．一质量为m的小球在高度h处以初速度0v水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的drdtv，dvdtv，dvdt。解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：0xvt=，212yhgt=−，∴201()2rvtihgtj=+−vvv；（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：2202gxyhv=−+（为抛物线方程）；（3）∵201()2rvtihgtj=+−vvv，∴0drvigtjdt=−vvv，即：0vvigtj=−vvv，dvgjdt=−vv在落地瞬时，有：2htg=，∴02drvighjdt=−vvv又∵v=22220()xyvvvgt+=+−，∴2122220022[()]gghgtdvdtvghvgt==++。1-6．路灯距地面的高度为1h，一身高为2h的人在路灯下以匀速1v沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度2v.证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为1x，足的坐标为2x，由相似三角形关系可得：12211xxhxh−=，∴11212hxxhh=−两边对时间求导有：11212dxhdxdthhdt=−，考虑到：21dxvdt=，知人影中头的速度：21112dxhvvdthh==−影（常数）。1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为2242ttx−+=(m)，在t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：tdtdxv44−==若0=v解得st1=，mxxx22)242(011=−−+=−=∆mxxx8)242()32342(2133−=−+−×−×+=−=∆mxxx1021=∆+∆=∆。cm20=h，斜面对水1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度平的倾角o30=θ，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。xy0vhOO1x2x1h2h3解：小球落地时速度为ghv20=，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，00060cosvvx=→200060cos2160costgtvx+=（1）00060sinvvy=→200060sin2160sintgtvy−=（2）第二次落地时：0=y，代入（2）式得：gvt02=，所以：2002002122cos60cos604802vghxvtgthcmgg⋅=+====。1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为2s/cm4.3，设赤道上重力加速度为2m/s80.9。解：由向心力公式：2FmRω=向，赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：Fmg=向，而现在赤道上物体的向心力为：'Fma=向∴098016.98173.4mggmaaωω====≈1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为0v，并且0v与水平面的夹角为θ。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：（1）抛物线顶点处子弹的速度0cosxvvθ=，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。因此有：22011(cos)vvgθρρ==，2201cosvgθρ=；（2）在落地点时子弹的0v，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成θ角，则：cosnagθ=，有：202cosvgθρ=则：202cosvgρθ=。1-11．一飞行火箭的运动学方程为1()ln(1)=+−−xututbtb，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。解：一维运动，直接利用公式：dxvdt=，dvadt=有：（1）)1ln(btudtdxv−−==，（2）btubdtdva−==11-12．飞机以s/m1000=v的速度沿水平直线飞行，在离地面高m98=h时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为x有：θθgyxg0v0vxvna0vxyhOθ4tvx0=┄①，221gth=┄②联立方程解得：mx447≈，∴05.77arctan≈=hxθ。1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为s/m0.490=v，而气球以速度s/m6.19=v匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？解：物体在任意时刻的速度表达式为：gtvvy−=0故气球中的观察者测得物体的速度vvvy−=∆代入时间t可以得到第二秒末物体速度：29.8mvs∆=，（向上）第三秒末物体速度：30v∆=第四秒末物体速度：49.8mvs∆=−（向下）。思考题思考题思考题思考题11-1．质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?（A）vv==vv,；（B）vv=≠vv,；（C）vv≠=vv,；（D）vv≠≠vv,答：（C）1-2．沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是：（A）与速度大小成正比；（B）与速度大小平方成正比；（C）与速度大小成反比；（D）与速度大小平方成反比。答：B1-3．如图所示为A，B两个质点在同一直线上运动的−vt图像，由图可知（A）两个质点一定从同一位置出发（B）两个质点都始终作匀加速运动（C）在2st末两个质点相遇（D）在20st时间内质点B可能领先质点A答：D1-4．质点的tx~关系如图，图中a，b，c三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？答：匀速直线运动；abcvvv。1-5．如图所示，两船A和B相距R，分别以速度Av和Bv匀速直线行驶，它们中α和β为已知。会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离．图答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度AvvvB−=′。v′是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v′方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.由A作BC垂线AC,其长度minr就是两船相靠最近的距离5θsinminRr=作FD//AB,构成直角三角形DEF，故有：vvvAB′−=αβθsinsinsin，在三角形BEF中,由余弦定理可得：)cos(222βα+++=′BABAvvvvvRvvvvvvrBABAAB)cos(2sinsin22minβααβ+++−=。方法二：两船在任一时刻t的位置矢量分别为：jirA)tsin)cos(ααBAvtv(+=jirB)tsin)cos(ββBBvtvR(+−=jirrrA])sinsin[(])coscos([-BtvvtvvRABABαβαβ−++−==任一时刻两船的距离为：22])sinsin[(])coscos([tvvtvvRrABABαβαβ−++−=令：0)(=dttdrRvvvvvvtABABAB22)sinsin()coscos(coscosαβαβαβ−+++=RvvvvvvrBABAAB)cos(2sinsin22minβααβ+++−=。1-6．若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？（A）0drdt=，0drdt≠v；（B）0dvdt=，0dvdt≠v；（C）0dadt=，0dadt=v答：(1)质点作圆周运动；(2)质点作匀速率曲线运动；(3)质点作抛体运动。1-7．如图所示，质点在t=0时刻由原点出发作斜抛运动，其速度=+rrxyvvivj，回到x轴的时刻为t，则（A）00dd=∫∫ttxvtvt（B）00dd=∫∫ttyvtvt（C）00dd=∫∫ttxvtvt（D）00dd=∫∫ttyvtvt答：A（注意：题目中各处的v应为矢量！须加上箭头。）1-8．一质点作斜抛运动，用1t代表落地时，（1）说明下面三个积分的意义：111000d,d,dtttxyvtvtvt∫∫∫；（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：∫∫∫BABABArd,d,drr。答：tvtxd10∫表示物体落地时x方向的距离，tvtyd10∫表示物体落地时y方向的距离，610dtvt∫表示物体在1t时间内走过的几何路程，∫BArd抛出点到落地点的位移，dBA∫r抛出点到落地点位移的大小，∫BAdr抛出点到落地点位移的大小。习题习题习题习题22-1质量为16kg的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为6Nxf=，7Nyf=，当0t=时，0xy==，2m/sxv=−，0yv=。当2st=时，求：(1)质点的位矢；(2)质点的速度。解：由xxfam=，有：xa263m/168s==，27m/16yyfasm−==（1）2003522m/84xxxvvadts=+=−+×=−∫，200772m/168yyyvvadts−=+=×=−∫。于是质点在2s时的速度：57m/s48vij=−−vvv（2）22011()22xyrvtatiatj=++vvv1317(224)()428216ij−=−×+××+×vv137m48ij=−−vv2-2质量为2kg的质点在xy平面上运动，受到外力2424=−urrrFitj的作用，t=0时，它的初速度为034=+rrrvij，求t=1s时质点的速度及受到的法向力nurF。解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。由：dvFmdt=vv，有：24242dvitjdt−=⋅vvv，两边积分有：0201(424)2