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Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse分类讨论思想1．分类讨论的常见情形（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的.（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.2．分类的原则（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.3．分类讨论的一般步骤第一，明确讨论对象，确定对象的范围；第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类讨论，获得阶段性结果；第四，归纳总结，得出结论.4.分类讨论应注意的问题第一，按主元分类的结果应求并集.第二，按参数分类的结果要分类给出.第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分类.经典例题透析类型一：不等式中的字母讨论1、（2010·山东）若对于任意，恒成立，则a的取值范围是________.思路点拨：依据式子的特点，进行整理，分子分母同除以x.解析：对一切恒成立，在R+上的最大值.而.当且仅当即x=1时等取号.∴.举一反三：【变式1】解关于的不等式:（）.解析：原不等式可分解因式为:，（下面按两个根与的大小关系分类）（1）当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：；（1）当，即时，不等式的解集为：；（2）当，即或时，不等式的解集为：；综上所述，原不等式的解集为：当或时，；当时，；当或时，.【变式2】解关于的不等式:.解析：（1）当时，不等式为,解集为；（2）当时，需要对方程的根的情况进行讨论：①即时，方程有两根.则原不等式的解为.②即时，方程没有实根，此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为.③即时，方程有两相等实根为，则原不等式的解为.（3）当时，恒成立，即时，方程有两根.此时，为开口向下的抛物线，故原不等式的解集为.综上所述，原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.类型二：函数中的分类讨论2、设为实数，记函数的最大值为，（Ⅰ）设，求的取值范围，并把表示为的函数；（Ⅱ）求；（Ⅲ）试求满足的所有实数.解析：（I）∵，∴要使有意义，必须且，即∵，且……①∴的取值范围是，由①得：，∴，，（II）由题意知即为函数，的最大值，∵时，直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，，，有=2；（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，，综上所述，有=（III）当时，；当时，，，∴，∴，故当时，；当时，，由知：，故；当时，，故或，从而有或，要使，必须有，，即，此时，，综上所述，满足的所有实数为：或.举一反三：【变式1】函数的图象经过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+∞)上恒有f(x)3，求函数f(x).解析：f(x)图象经过点(-1，3)，则，整理得：，解得或(1)当时，则，此时x∈(-1，+∞)时，f(x)3，不满足题意；(2)当，则，此时，x∈(-1，+∞)时，即f(x)3，满足题意为所求.综上，.【变式2】已知函数有最大值2，求实数的取值.解析：令，则().(1)当即时，，解得:或（舍）；(2)当即时，,解得:或（舍）；(3)当即时，，解得（全都舍去）.综上，当或时，能使函数的最大值为2.3、已知函数（）.（1）讨论的单调性；（2）求在区间上的最小值.解析：（1）函数的定义域为（0，+∞）对求导数，得解不等式，得0＜x＜e解不等式，得x＞e故在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减（2）①当2a≤e时，即时，由（1）知在（0，e）上单调递增，所以②当a≥e时，由（1）知在（e，+∞）上单调递减，所以③当时，需比较与的大小因为所以，若，则，此时若2＜a＜e，则，此时综上，当0＜a≤2时，；当a＞2时总结升华：对于函数问题，定义域要首先考虑，而（２）中③比较大小时，作差应该是非常有效的方法.举一反三：【变式1】设，（1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+∞）上的单调性；（2）记f(x)在0x≤1上的最小值为g(a)，求y=g(a)的解析式.解析：（1）设0x1x2+∞则f(x2)-f(x1)=由题设x2-x10，ax1·x20∴当0x1x2≤时，，∴f(x2)-f(x1)0，即f(x2)f(x1)，则f(x)在区间[0，]单调递减，当x1x2+∞时，，∴f(x2)-f(x1)0，即f(x2)f(x1)，则f(x)在区间（，+∞）单调递增.（2）因为0x≤1，由（1）的结论，当0≤1即a≥1时，g(a)=f()=2-;当1，即0a1时，g(a)=f(1)=a综上，所求的函数y=g(a)＝.【变式2】求函数在上的值域.解析：令，则(1)当0＜a≤1时，∵0≤x≤a，∴f′(x)≥0(只有a=1且x=1时f′(x)=0)∴f(x)在[0,a]上单增，从而，值域为；(2)当a1时，∵0≤x≤a，∴f(x)在单增，在上单减，并且，∴，值域为；(3)当-1≤a0时，∵0≤x≤|a|，∴f(x)在[0,|a|]上递减从而即，值域为(4)当a-1时，∵0≤x≤|a|，∴f(x)在单减，在上单增，∴，又，∴，值域为.类型三：数列4、数列{an}的前n项和为Sn，已知{Sn}是各项均为正数的等比数列，试比较与的大小，并证明你的结论.解析：设等比数列{Sn}的公比为q，则q0①q=1时，Sn=S1=a1当n=1时，，a2=0，∴，即当n≥2时，an=Sn-Sn-1=a1-a1=0，，即(2)q≠1时，Sn=S1·qn-1=a1·qn-1当n=1时，∴，即.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=a1·qn-1-a1·qn-2=a1·qn-2(q-1)此时∴q1时，，0q1时，.总结升华：等比数列前n项和公式分q=1或q≠1两种情况进行讨论.举一反三：【变式1】求数列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,……（其中a≠0）的前n项和Sn.解析：数列的通项an=an-1+an+…+a2n-2讨论：（1）当a=1时，an=n，Sn=1+2+…+n=（2）当a=-1时，，∴，（3）当a≠±1且a≠0时，，∴.【变式2】设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:.解析：（1）当q=1时，Sn=na1，从而，（2）当q≠1时，，从而由（1）（2）得:.∵函数为单调递减函数.∴∴.【变式3】已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.(Ⅰ)求q的值；(Ⅱ)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.解析：(Ⅰ)由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,∵a1≠0，∴2q2-q-1=0，∴或，(Ⅱ)若q=1，则当n≥2时，若当n≥2时，故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Snbn；当n=10时，Sn=bn；当n≥11时，Snbn.【变式4】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的k阶差分数列，其中且k∈N*，k≥2。（1）已知数列的通项公式。试证明是等差数列；（2）若数列的首项a1=―13，且满足，求数列及的通项公式；（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。解析：（1）依题意：，∴∴，∴数列是首项为1，公差为5的等差数列。（2），（3）令，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；又因，而，所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为－18。类型四：解析几何5、已知椭圆C的方程为，点P（a,b）的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程.（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.思路点拨：本题求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识.解析：（1）设点A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），点Q的坐标为Q（x,y）.当x1≠x2时，可设直线l：y=k(x-a)+b由已知，……①y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b…②由①得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0…③由②得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b…④由③、④及，，得点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0……⑤当x1=x2时，l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a,0），显然Q点的坐标满足方程⑤.综上所述，点Q的坐标满足方程：2x2+y2-2ax-by=0.设方程⑤所表示的曲线为L，则由，得（2a2+b2）x2-4ax+2-b2=0由于Δ=8b2(a2+-1)，由已知a2+≤1所以当a2+=1时，Δ=0，曲线L与椭圆C有且只有一个公共点P（a,b）.当a2+1时Δ0，曲线L与椭圆无交点，而因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内.故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0.（2）由，解得或，又由，解得或，则①当a=0,b=0,即点P(a,b)为原点.曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0)②当a=0且0|b|≤时,即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时,点(a,0)与(0,0)重合，曲线L与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0)③当b=0且0|a|≤1时，即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时,曲线L与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0).④当0|a|1且0|b|时,即点P(a,b)在椭圆C内且不在坐标轴上时,曲线L与坐标轴有三个交点(a,0),(0,b)与(0,0).总结升华：本题充分运用了分类讨论的思想方法,以及综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉及知识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力,做为考题区分度好,特别是分类讨论时易出错.举一反三：【变式1】讨论k的取值，说明方程表示的曲线.解析：方程中x、y的平方项系数是否为0，是否相等决定着方程表示的曲线，故需要对k值就以上情况分类讨论.当k2=0即k=0时，方程化为，表示顶点在原点，x轴为对称轴，开口向左的抛物线.当2k-1=0即时，方程化为x(x-8)=0∴x=0或x=8，表示y轴和过点(8，0)斜率不存在的两平行直线.当k2=2k-1,即k=1时，方程化为，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆当k≠0，，k≠1时方程可化为当方程表示焦点在平行y轴直线上，中心在的椭圆当时，方程表示以为中心，焦点在x轴上的双曲线.