13.1.1椭圆的标准方程

地球绕太阳运行地球绕太阳运行形成的轨迹是什么图形？如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆第十三章圆锥曲线与方程1.理解并掌握椭圆的定义.2.探索并掌握椭圆标准方程.3.能根据条件确定椭圆的标准方程。学习目标：实验与探究：1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条件？2.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何条件？我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。椭圆的定义:思考:当点M到F1、F2的距离之和不大于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？动点M的轨迹：线段F1F2MF1F2动点M的轨迹：不存在.结论：若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是（）若常数等于|F1F2|，则点M的轨迹是（）若常数小于|F1F2|，则点M的轨迹（）椭圆线段F1F2不存在思考:当点M到F1、F2的距离之和不大于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？当︱MF1︱+︱MF2︱=F1F2时，当︱MF1︱+︱MF2︱F1F2时，根据定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆：(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹.(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹.(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹.是不是不是试一试：思考：求动点轨迹方程的一般步骤：xyo建系：设点：列式：以经过椭圆焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。设M（x，y）是椭圆上任一点，设椭圆的焦距为2c，点M与两焦点的距离之和为常数2a。故椭圆的两焦点坐标分别为F1(-c,0)和F2(c,0)由椭圆的定义得（ac）2a||||21MFMFaycxycx2)()(2222化简：222)(ycxacxa两边再平方，得整理得)()(22222222caayaxca2222222)()(44)(ycxycxaaycx移项，得：2222)(-2)(ycxaycx两边再平方，得：aycxycx2)()(2222化简，得：2222222222422yacacxaxaxccxaa得（设)0b222bca由椭圆的定义可知2a2c,所以ac,所以022ca222222bayaxb12222byax0ba两边同时除以a2b2，得xyoacbcaOP22||令则方程可化为观察左图，你能从中找出表示c、a的线段吗？222210xyababa2-c2有什么几何意义？b由两点间的距离公式，可知：2222()()2ycxycxa设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，又由椭圆的定义可得：|MF1|+|MF2|=2a（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答椭圆的标准方程。）2ayc)(xyc)(x2222焦点在Y轴焦点在X轴F2F1Mxyo22222222222211xyxybacaacab22222222222211yxyxaacabbac想一想：如果取F1F2所在的直线为y轴，以线段F1F2的中垂线为x轴，建立直角坐标系,椭圆的方程是怎样的呢？222210yxabab•焦点在x轴上的标准方程：•焦点在y轴上的标准方程：222210xyabab思考：如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？（1）焦点在x轴的椭圆，x2项分母较大.（2）焦点在y轴的椭圆，y2项分母较大.222bac222bac012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.椭圆的图形与标准方程：22(2)12516xy2222(5)11xymm22(1)11616xy22(3)9252250xy22(4)321xy练习：1.下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆焦点在那个轴上。2、填空：（独立思考后回答）(1)已知椭圆的方程为：,则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：，焦距等于_____;若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则∆F1PF2的周长为___________15422yx21(0,-1)、(0,1)25253252|PF1|+|PF2|=2aF1F2(2)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________1162522yx543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a（3）a=5，c=4的椭圆标准方程是。192522yx192522xy或例1平面内两个定点的距离是8，求到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1,F2表示，取过点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2垂直平分线为y轴。∵2a=10,2c=8,∴a=5,c=4,b2=a2-c2=52-42=9,∴这个椭圆的标准方程是.192522yx练习：平面内两个定点的距离是6，求到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。课堂小结：1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。21,FF（大于）||21FF（ac）即2a||||21MFMF2、椭圆的图形与标准方程这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做焦距。2222+=10xyabab标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上!12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标a、b、c的关系焦点在x轴上焦点在y轴上222cab22221(0)yxababyxMOF1F22、椭圆的图形与标准方程：作业：课后练习：P37第2.例2分别求椭圆13422yx与椭圆14322yx的焦点.解：∵43，∴椭圆A的两个焦点分别为（-1，0）和（1，0）,∵a2=4,b2=3,，134c22ba椭圆B的两个焦点分别为（0，-1）和（0，1）.∴椭圆A的焦点在x轴上，椭圆B的焦点在y轴上.)53,4(A例3已知椭圆的焦点在x轴上，a=5，而且椭圆经过点，求椭圆的标准方程。解：设椭圆的标准方程为，1b52222yx∴设椭圆的标准方程为∵椭圆经过点，)53,4(A，1b)53(542222解得b2=1,.12522yx求动点的轨迹方程的基本步骤:建系列式设点证明化简探索椭圆标准方程♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM2.求椭圆的方程：解：以两定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）aMFMF2||||21222221)(||,)(||ycxMFycxMF由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标aycxycx2)()(2222得方程222)(ycxacxa两边再平方，得整理得)()(22222222caayaxca2222222)()(44)(ycxycxaaycx移项，得：2222)(-2)(ycxaycx两边再平方，得：aycxycx2)()(2222化简，得：2222222222422yacacxaxaxccxaa得（设)0b222bca由椭圆的定义可知2a2c,所以ac,所以022ca222222bayaxb，得两边同时除以22ba12222byax0ba)0(12222babxay总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式012222babyax焦点在y轴：焦点在x轴：3.椭圆的标准方程:1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.11625)2(22yx11)4(2222mymx11616)1(22yx0225259)3(22yx练习1.下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？小菜一碟练习2.已知椭圆的方程为：，请填空：(1)a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=___.1162522yx变式：若椭圆的方程为,试口答完成（1）.14491622yx5436(-3,0)、(3,0)8116922yx露它一小手练习3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；2212516yx2216xy(1)a=,b=1,焦点在x轴上；6(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).2211612xy22xy+=149小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值.相信我能行！2007年10月24日18时05分，嫦娥一号卫星在西昌卫星发射中心顺利发射，2010年10月1日下午18时59分57秒，中国探月二期工程先导星“嫦娥二号”在西昌点火升空，准确入轨，赴月球拍摄月球表面影象、获取极区表面数据，为嫦娥三号在月球软着陆做准备。标志着我国航天事业又上了一个新台阶。