MATLAB在留数中的应用

《MATLAB语言》课程论文MATLAB在留数中的应用姓名：楚艳艳学号：12010245341专业：通信工程班级：21010级通信班指导老师：汤全武学院：物理电气信息学院完成日期：2011.12.10-1-MATLAB在留数中的应用（楚艳艳120102453412010级通信班）[摘要]随着高科技的发展，人们利用计算机逐渐代替人工来解决一些很复杂的问题。MATLAB等各种计算机语言相继被人类所研究出来。MATLAB已广泛地应用于科学研究和解决各种具体的实际问题，具有以下特点：可靠的数值计算和符号计算功能，强大的绘图功能，简单易学的语言体系以及为数众多的应用工具箱等方面，可以预测，MATLAB将在科学研究和工程应用中国发挥越来越大的具体作用。[关键词]MATLAB语言复变函数留数一、问题的提出MATLAB是目前影响最大，流行最广的科学计算语言。因为它具有功能强，效率高，简单易学等特点，在许多领域得到广泛的应用。MATLAB拥有多种数学运算函数，可以方便用户所需的各种运算功能功能。MATLAB的这些函数包括最简单的函数如矩阵的运算到傅里叶变换等复杂的函数。这门语言很好的应用于大学物理，高等数学，复变函数等各个学科，成功地解决了很多人工很难解决的问题。本文将具体介绍MATLAB在复变函数中留数的计算这一方面的应用。二、孤立奇点的介绍1、孤立奇点的分类定义：0)(zzf在处不解析，但在0z的某个去心邻域00zz内处处解析，则称0z为)(zf的孤立奇点。我们可根据洛朗级数展开式中主要部分的系数取零值的不同情况，将函数的孤立奇点进行分类。a、可去奇点若对一切0n有0nC则称0z是函数)(zf的可去奇点，或者说)(zf在0z有可去奇点。这是因为令00)(Czf，就得到在整个圆盘0zz内解析的函数)(zf。b、极点如果只有有限个（至少一个）整数0n，使得0nC，那么我们说0z是函数)(zf的极点。设对于正整数m，0mC；而当mn时，0nC。那么我们就说0z是)(zf的m阶极点。称一阶极点为简单极点。c、本性奇点如果有无限个整数0n，使得0nC，那么我们就说0z是)(zf的本性奇点。下面将讨论各类孤立奇点的性质：定理1设函数)(zf在）（000zz内解析.那么0z是)(zf的可去奇点的充分必要条件是：存在极限0)(lim0Czfzz，其中0C是一复常数。由极限的性质还可推出以下定理：定理：设0z是)(zf的一个孤立奇点，则0z是)(zf的可去奇点的充分必要条件是)(zf在-2-0z的一个邻域内为有界。由极点定义易知0z是)(zf的m阶极点的充要条件是：)()(1)(0zzzzfm，其中)(z在0z处解析且0)(0z。由上式可以证明：定理2设函数)(zf在）（000zz内解析，那么0z是)(zf的极点的充分必要条件是0)(lim0zzfzz；是)(zf的m阶极点的充分必要条件是：mmzzCzfzz)()(lim00，在这里m是一正整数，mC是一个不等于0的复常数。定理1及定理2的充要条件可以分别说是存在有限或无穷的极限)(lim0zfzz.结合这两定理，我们有：定理3设函数)(zf在）（000zz内解析。那么0z是)(zf的本性奇点的充分必要条件是：不存在有限或无穷的极限)(lim0zfzz。2、函数的零点与极点的关系定义若)(,)()(0zzzzzfm）（在0z处解析，且0)(0z，m为某一正整数那么称0z是)(zf的m阶零点。定理4若)(zf在0z解析，那么0z为)(zf的m阶零点的充要条件是0)(,)1,,1,0(0)(0)(0)(zfmnzfmn（1）顺便指出，由于)()(0zzzzfm）（中的)(z在0z解析，且0)(0z，因而它在0z的邻域内不为0，所以)()(0zzzzfm）（在0z的去心邻域内不为零，只在0z处等于零.也就是说，一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的。函数的零点与极点有下面的关系：定理5如果0z是的)(zf的m阶极点，那么0z就是)(1zf的m阶零点。反之，如果0z是)(zf的m阶零点，那么0z就是)(1zf的m阶极点。3、函数在无穷远点的性态在考虑解析函数的孤立奇点时把无穷远点放进去，这有许多便利。-3-定义设函数)(zf在无穷远点的邻域zR（相当于有限点的去心邻域）内为解析，则无穷远点就称为)(zf的孤立奇点。在zR内，)(zf有洛朗级数展开式：nnnzCzf)(（zR），（2）其中),2,1,0;()(211nRdfiCnn。利用倒数变换将无穷远点变为坐标原点，这是我们处理无穷远点作为孤立奇点的方法.它也具有更广泛的意义（如在共形映射中也可这样处理）。下面，我们进一步分别根据0w是函数)(w的可去奇点、m阶极点或本性奇点定义z是函数)(zf的可去奇点、m阶极点或本性奇点。这样，可得到：a、在（2）式中，如果当3,2,1n时0nC，那么z是函数)(zf的可去奇点.b、在（2）式中，如果只有有限个（至少一个）整数0n，使得0nC，那么z是函数)(zf的极点。设对于正整数m，0mC；而当mn时，0nC，那么z是函数)(zf的（m阶）极点。c、在（2）式中，如果有无穷个整数0n，使得0nC，那么z是函数)(zf的本性奇点。结果与有限点的情形相反，无穷远点作为函数的孤立奇点时，它的分类是以函数在无穷远点邻域的洛朗展开中正次幂的系数取零值的多少作为依据的。定理1至定理3都可立即转移到无穷远点的情形.我们有定理6设函数)(zf在区域zR）（0R内解析，那么z是函数)(zf的可去奇点、极点或本性奇点的充分必要条件是：存在着有限，无穷极限)(limzfz或不存在有限或无穷的极限)(limzfz。在孤立奇点学习的基础上才可以进一步探究留数的计算以及留数的应用。三、留数的定义及解法1、留数的定义如果点b是f(z)的一个孤立奇点，设f(z)在z=b点洛朗展开式为f(z)=…+()mmczb+…+1()czb+0c+1()czb+22()czb+…（3）-4-则把1()zb的系数1c称为f(z)在点b的留数（又叫残数）记作Resf(b)或Res[f(z),b],即Resf(b)=-1c.2、留数的求法（1）用定义求1c，这是一般的方法，特别适合于求本性奇点的留数显然，由于f(z)的可去奇点邻域内的洛朗级数无主部，所以f(z)在可去奇点处的留数为零。问题1、求函数()fz=21sinzz在孤立奇点z=0点处的留数解：显然z=0是函数21sinzz的本性奇点，在z=0点的洛朗级数为21sinzz=z-13!z+315!z-…,0|z|,（4）由定义得Res[21sinzz,0]=-13!.（2）、利用公式计算留数法则一：如果0z为()fz的简单极点，则Res[()fz,0z]=00lim()()zzzzfz；（5）法则二：设()()()PzfzQz，其中()Pz，()Qz在0z处解析，如果0()Pz0，0z为()Qz的一阶零点，则0z为()fz的一阶极点，则Res[()fz,0z]=0'0()()PzQz；（6）法则三：如果0z为()fz的m阶极点，则Res[()fz,0z]=010()11lim[()](1)!mmzmzzdzzfmdz；（7）法则四：Res[()fz,]=-Res[211()fzz,0]；（8）四、利用MATLAB求解留数问题下面通过几个题分析MATLAB在留数中的应用。1、分子分母均为多项式的函数MATLAB中的residue函数可以用来求解分子分母均为多项式的函数，其调用格式如下：[R,P]=residue（A,B）。其中R是部分分式的系数数组即留数数组，P是极点数组。注意，当函数有重极点时，-5-对同一个极点P，存在几个展开系数R，这几个R中只有与相同极点中的第一个对应的R是1()ZP的系数即与极点P对应的留数，其余的不是留数。参数A是由复变函数的分子的系数组成的向量，参数B是由复变函数的分母的系数组成的向量。问题1、求函数()fz=321310zzz各极点以及在各极点处的留数解：()fz=321310zzz=1(2)(5)zzz由于0，2，-5是(2)(5)zzz的一阶零点，因而它们是1(2)(5)zzz的一阶极点。由法则一即得：011Re[,0]lim[](2)(5)(2)(5)zszzzzzzz=011lim(2)(5)10zzz211Re[,2]lim[(2)](2)(5)(2)(5)zszzzzzzz=211lim(5)14zzz511Re[,5]lim[(5)](2)(5)(2)(5)zszzzzzzz=511lim(2)35zzz利用MATLAB编程，程序如下：formatrat%以有理形式输出a=[1];%复变函数的分子的系数组成的向量b=[1,3,-10,0];%复变函数的分子母的系数组成的向量[R,P]=residue(a,b)%求解复变函数的各极点及各极点处的留数，其中R是留数数组，P是极点数组程序输出结果如下：R=1/351/14-1/10P=-52-6-0从输出结果可以看出：1Re[(),0]10sfz，1Re[(),2]14sfz，1Re[(),5]35sfz，可见结果与计算结果相同。问题2、求函数()fz=3211zzz各极点以及在各极点处的留数解：32211()1(1)(1)fzzzzzz由于1，-1分别是2(1)(1)zz二阶零点和一阶零点因而它们分别是21(1)(1)zz的二阶极点和一阶极点由法则三即得：21222121111Re[,1]lim[(1)](1)(1)(21)!(1)(1)zdszzzdzzz=11lim()1zddzz=14由法则一即得：22111Re[,1]lim[(1)](1)(1)(1)(1)zszzzzz=211lim(1)zz=14利用MATLAB编程，程序如下：formatrat%以有理形式输出a=[1];%复变函数的分子的系数组成的向量b=[1,-1,-1,1];%复变函数的分子母的系数组成的向量[R,P]=residue(a,b)%求解复变函数的各极点及各极点处的留数，其中R是留数数组，P是极点数组程序输出结果如下：R=-1/41/21/4P=11-1当函数有重极点时，对同一个极点P，存在几个展开系数R，这几个R中只有与相同极点中的第一个对应的R是1()ZP的系数即与极点P对应的留数，其余的不是留数。所以，P=1-7-第一个对应的R=-14是函数在-1点的留数。由输出结果可以看出：1Re[(),1]4sfz，1Re[(),1]4sfz，程序输出结果与计算结果相同。问题3、求函数152243()(1)(2)zfzzz各极点以及在各极点处的留数所给函数一共有七个极点，(2)/44,2(0,1,2,3),kipipekp。运用人工将函数分母的展成多项式比较麻烦，在MATLAB中的conv函数可以很方便地解决这一问题。利用MATLAB编程，程序如下：a=[1,0,1];a1=conv(a,a);a2=[1,0,0,0,2];a3=conv(a2,a2);a4=conv(a3,a2);a5=conv(a1,a4);%产生分母多项式系数矩阵b=[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];%函数分子多项式系数矩阵[r,p]=residue(b,a5)%利用residue函数求复变函数极点和留数输出结果：a5=Columns1through1210207012018