高数

第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法第五节定积分在几何问题中的应用二、平面图形的面积三、两种特殊立体的体积第五章一、定积分的元素法四、平面曲线的弧长1.旋转体的体积2.平行截面面积为已知的立体的体积第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法回顾曲边梯形求面积的问题1.再论曲边梯形的面积)(xfyabxyoA研究步骤如下()iiiAfxiix（1）把区间分成个长度为的小区间，[,]abixniA的近似值求和取极限，得A的精确值（2）01lim()niiiAfxiiA相应的，第个小窄曲边梯形的面积为，则xxfbad)(一、定积分的元素法第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法若用表示任一小面区A间上的窄曲边梯形的面[,]xxx分析：d()baAAx()d.bafxx,AA并取，于是()dAfxxabxyo)(xfyxxxdAd面积元素则有dA就是所求面积的典型元素（简称典型元或微元）.工程应用上需用定积分解决的问题，常用微元分析法.积，则第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法表示为2.什么问题可以用定积分解决1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义一个整体量;2)U对区间[a,b]具有,可加性第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法3.如何应用定积分解决问题第一步微分表达式xxfUd)(d第二步积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法称为近似值精确值利用“化整为零,以常代变”求出局部量的利用“积零为整,无限累加”求出整体量的元素法(或微元分析法)元素条,带,段,环,扇,片,壳的几何形状常取为:等第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法ybxa)(2xfy)(1xfyO二、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为A,右下图所示图形面积为xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfyxxdxxxxd第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法例1所围图形的面积.解由得交点，则)6,3(,)3,0(2d[(3)(23)]dAxxxx92320(3)dAxxxO3yxxy(3,6)(0,3)xdxx计算两条曲线第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法O24yx24xyxy例224yx与直线的面积.解由得交点(0,2),(12,4)(0,2)2d[(42)(4)]dAyyy3624xy所围图形(12,4)则有224(28)dAyyyyyyd计算抛物线为简便计算,选取作积分变量,y第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法ab例3xyAdd所围图形的面积.有axyA0d4利用椭圆的参数方程π)20(sincosttbytax应用定积分换元法得2π02dsin4ttbaba4212πbaπ当a=b时得圆面积公式xxxdxyO求椭圆解利用对称性,第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法xyaπ2O例4的一拱与x轴所围平面图形的面积.dAydx解(1cos)(1cos)datattttad2sin4π2042)2(tu令uuadsin8π042uuadsin162π0422π3a2π0(1cos)(1cos)dAatattttad)cos1(π2022求由摆线第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.)(rd在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212AxO第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法对应从0变例5解d21d()d2Aa2π201()d2Aa22a3310π223π34a到2所围图形面积.aπ2xO计算阿基米德螺线第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法xa2Ottadcos82π042例6所围图形的面积.解dd)cos1(2122aπ02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212π2π23a心形线计算心形线第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法2coscos21)2cos1(21aa2xyO例7与圆所围图形的面积.所求面积d)cos1(2122a22π21aA22π21aad)2cos21cos223(2π43π2122aa计算心形线解利用对称性,第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法a2sin2a例8所围图形面积.d2cos212a4π02a)2(d2cos则所求面积为2asin2ar所围公共部分的面积.2Adsin2026πad2cos214π6π2a4π答案:4πyxO求双纽线解利用对称性,思考:用定积分表示该双纽线与圆第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法圆柱圆锥圆台1.旋转体的体积三、两种特殊立体的体积就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋旋转体旋转轴．这直线叫做旋转轴转一周而成的立体．第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法则体积为多少？为底的窄曲边梯形绕取以dxx轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，xyabxyabO)(xfy2[()]dbaVfxx、xaxbxx()yfx一般地，如果旋转体是由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕一周而成的立体，取积分变量为,x[,]xab，[,]ab在上任取小区间[,d]xxx，由此得旋转体的体积为：2d[()]d.Vfxx则xyo)(xfyxdxx轴旋转第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法Oxy)(yx由此,当考虑连续曲线段2)]([πxf轴旋转一周围成的立体体积时,有xdbaV而当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有2)]([πyyddcVycdxyabxyabO)(xfyx2dπ[()]dVfxx2dπ[()]dVyy第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法当如下图形（非标准曲边梯形）绕坐标轴旋转时22d[()()]dVRxrxx22[()()]dbaVRxrxx第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法ayxb例9所围图形绕x轴旋转而成，求这个油箱能装燃料的体积.解则xxaabad)(π220222(利用对称性)322231π2xxaab0a2π34abOaV02xydπ2x飞机的辅助燃料油箱形状为椭圆利用直角坐标方程方法1dxx2dπdVyx第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法方法2则xyVadπ202222πsindcosabtt2π2ab322π34ab1ayxbOx特别当时,就得半径为a的球体的体积.π343ab=attabdsinπ2322πddVyx利用椭圆参数方程第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法aπ2xyO例10的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解xyVaxdππ202利用对称性π022)cos1(π2tattad)cos1(ttad)cos1(π2π033ttad2sinπ16π063uuadsinπ322π0633π32a6543212π32π5aaπy)2(tu令xyadπ2π02计算摆线绕x轴旋转而成的体积元素为xyVxdπd2第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法xyOaπ2aπ考虑绕y轴旋转而成的体积元素a222)sin(πttattadsinπ2)(2yxxπ22)sin(πttattadsin0π注意上下限!π2023dsin)sin(πtttta注)(1yxx第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法柱壳体积说明:xxxdy柱面面积π2)sin(tta)cos1(taydV第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法偶函数ttattad)cos1()sin(π222π20π2043d2sin)sin(π8tttta2tu令π043dsin)2sin2(π16uuuua2πuv令vvvvadcos)2sinπ2(π16432π2π奇函数第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法例11求曲线132xy与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(1994考研)解y10x,22x21x,42x故旋转体体积为V43π2xxd)]2(3[π21022xxd)1(π2π361022xxd)1(π22122xxd)1(π22022π15448在第一象限xxd)]4(3[π22122x12yBCAO3利用对称性,1D2D221d[3(2)]dVxx222d[3(4)]dVxx第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法2.平行截面面积为已知的立体的体积[,]ab设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabx)(xA上连续,如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积也可用定积分来计算.在第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法例12并与底面交成角,222Ryx解则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.ORxyx一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,如图所示取坐标系,()dVAxdx第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法ORxyR思考:此时截面面积函数如何用定积分表示体积?)(yA提示:tan2yx222tanRyyVR0tan2yyRyd22可否选择y作积分变量?2012tan()2Rduu令22uRy32tan3R),(yxd()dVAyy是什么?第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法解1)1()1(22222222axaxczby例13所围立体(椭球体)它的面积为因此椭球体体积为xbcaxd)1(π22cbπ20acbaπ34特别当a=b=c时就是球体体积.aV02x233axx的体积.Oacb计算由曲面垂直x轴的截面是椭圆第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法当曲线上每一点都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线成为光滑曲线.四、平面曲线的弧长0M1iMiMnM当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理(证明略)ni10lims则称OAByx注记：任意光滑曲线弧都是可求长的.定义若在弧AB上任意作内接折线,第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法sdabyxO1.曲线弧由直角坐标方程给出:)(xfy弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs第四章不定积分高等数学（上）第三节分部积分法2.曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs