初中数学常见模型及部分解题思路

知行合一知识改变命运，行动成就人生1初中数学常见模型解题思路代数篇1、循环小数化分数：(1)设元(2)扩大(3)相减抵消法【等式性质的运用】例：把0.108108108...化为分数.设a=0.108108108...①两边同时乘以1000，得1000a=108.108108...②②-①，得999a=108，从而得a=108/999=4/37.2、对称式计算技巧：“平方差公式、完全平方公式”【整体思想的结合】22,,,yxxyyxyx中，知二求二.(加减配合，灵活变形.)如xyyxyx2)(222xyyxyx2)(222；xyyxxyyxyx4)(2)(2222.3、特殊公式21)1(222xxxx的变型及应用.4、立方和/差公式：).)(())((22332233yxyxyxyxyxyxyxyx；5、等差数列求和的法：首尾相加法.(方法+公式)例：计算1+2+3+4+...+2018.【规律推导法；等式性质推导】6、等比数列求和法：(1)设元(2)乘等比(3)相减(4)求解.例：计算1+2+4+8+...+2n.【这两种数列均可用等式性质进行推导】7、mnmnnmmnmnnm11;11的灵活应用.例：计算(1)3801...3012011216121；(2).171532151328...971675125383148、韦达定理求关于两根的代数式的值.(1)对称式：变和积..1111222222yxyxyxxyyx；；；(x、y为一元二次方程的两根)(2)非对称式：根的定义降次变和积(一代入二韦达)9、三大非负数及三大永正数(如|x|+2).10、常用最值式：正数2)(yx等11、换元大法.12、自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型(如配方)只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。13、拆项法、配方法。(原理同上)14、十字相乘法.15、统计概率：两查(抽样；普查)、三事(必然；随机；不可能)、四图(折线；条形；扇形；直方)、三数三差、两频(频数；频率)一概(概率).16、一元二次方程应用题.如利率问题、握手送花问题等17、ba，则ba在动点问题中的巧妙应用(避免繁琐的因为点的相对位置变知行合一知识改变命运，行动成就人生2化引起的符号变化问题；平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法).18、四个角的正切值：22.5度的正切值为12；67.5度的正切值为12；75度的正切值为32；15度的正切值为32.几何篇1、线、角的等量问题：等角(如右图)：条件CODAOB结论：BODAOC说明：可视作由旋转产生的“共点等角”等线(如下图)：条件CDAB结论：BDAC说明：可视作由平移产生2、两条平行线夹一角(即“拐点问题”)例：如图1，条件AE∥CF结论：360PFCAEPP如图2，条件AE∥CF结论：FCPEAPP3、平行线夹等(同)底三角形：面积相等。同底三角形面积相等，则过顶点的直线与底所在直线平行。若m∥n，则ABDABCSS.反之，若ABDABCSS，则m∥n.4、已知三角形两边长，定第三边的范围：大于两边的差，小于两边的和。5、三角形的角平分线.(1)两内角平分线相交角：290AP一内一外角平分线相交角：2AM两外角平分线相交角：290AN(如图)(2)一内角平分线分对边所成的两条线段之比等于该角两边之比.如：AD平分∠BAC，则CDBDACAB.6、三角形的中线：重心分中线为1:2两部分.如：三中线AD、BE、CF交于点K，则ADKDAK322;BEKEBK322;CFKFCK322.7、三角形的高：底与高积相等；三高得相似；三高得四点共圆.如：AD、BE、CF为高，则ABCFACBEBCAD;△ADB∽△CFB等；B、C、E、F四点共圆等.AOBCDAOCBDABCDACBDCFPAEAECFPCDmABnPBCANBCADBCABCAMKCDBCAFEDBCCAFE知行合一知识改变命运，行动成就人生3高8、(1)高与一角平分线的夹角等于另外两角差的一半.如：AD、AE分别为△ABC(AB≠AC)的角平分线和高，则∠DAE=2BC.(2)两中线垂直的三角形中两边平方和等于第三边平方的5倍.如：AE、BF分别为△ABC的中线，且AE⊥BF，则2225ABBCAC.9、三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积.(1)在△ABC中，AD、BE、CF相交于同一点O，则CDBDSSACOABO::.(2)任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：)(:)(:4321SSSSOCAO4321::SSSS或者3241SSSS.10、等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；一垂两等变等腰；一垂三等变等直.等腰三角形存在性常用公式：底角的余弦=底边的一半/腰*重要推论：已知三角形中一个角的余弦，这个角的一边×这个角的余弦=另一边的一半，此三角形为等腰三角形(一边为腰，另一边为底).如图：2cosBCBAB△ABC为等腰三角形(BC为底).*“两线一圆模型”：已知线段AB(两定点A、B)，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形.这样的点C的集合在以A、B为半径的圆和AB的垂直平分线上(与A、B共线的点除外)【等腰三角形存在性问题】11、直角三角形斜高的求法：斜高=两直角边的乘积/斜边*直角三角形存在性之“两线一圆模型”：已知线段AB(两定点A、B)，在平面内找一点C，使△ABC为直角三角形.满足条件的C的集合在过A、B作线段AB的垂线及以AB为直径的圆上的除A、B两点的任意点都可与A、B组成直角三角形.(即所谓的“两线一圆”)12、等边三角形面积的求法：243aSa的等边三角形边长为13、求面积的套路：(1)复杂图形：一拆用加；二放用减.(2)三角形：①面积公式；②两边与夹角正弦的积的一半(遇钝变补)；③铅垂线法(宽高法)；④等边三角形的面积；⑤利用相似比的平方等于面积比(借助面积可求的三角形的面积和相似比求解)；⑥让出去(化归).DBECAABCEFOCDBCAFEADS1ABCABAB宽BCOS2S3S4知行合一知识改变命运，行动成就人生4BEADDBCCEKGFEDCBAAEDBCGABCDOEABCDPABCDEF(3)平行四边形面积=两邻边与其夹角的正弦的乘积；菱形的面积=边长的平方与一个内角的正弦的乘积；梯形的面积=两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半.(4)共角(有一个角相等)三角形：面积的比等于等角两边乘积的比(鸟头定理).两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上(或延长线上)的点，则)(:)(:AEADACABSSADEABC14、三大蝴蝶：(1)一线两等边.如图，△ABC、△ECD为等边三角形，B、C、D共线，则有：△BCE≌△ACD、△DCG≌△ECF、△BCF≌△ACG；旋转60°形成的全等三角形，所以△CGF也是等边三角形；三组平行线；∠AKB=∠BKC=∠DKC=60°;KC平分∠BKD；K、F、C、G四点共圆.(2)一个三角形两等边.如图，以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边△ADB和等边△ACE，则有：△ADC≌△ABECD=BE,∠DGB=60°,∠DGE=120°又ABEADCSS点A到DC和到BE的距离相等AG是∠DGE的平分线，∠DGA=∠EGA=60°.(3)一个三角形两个正方形.如图，以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABGF和正方形ACDE，则有：FC=BE，FC⊥BE；AH平分∠FHE；A、F、B、H四点共圆.15、平行四边形的面积关系：(1)ABCDAEDSS平行四边形21；(2)平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线(一般找平行于两轴的直线)的距离相等.16、平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和：222222DACDBCABBDAC17、矩形一边上任意一点到对角线距离的和=对角线宽长.18、矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等.如图，矩形ABCD内任意一点P，则有：2222PDPBPCPA.19、矩形经典对折图.如图，矩形ABCD沿对角线BD对折，C点到了E点，则一对全等(小直角三角形)一对相似，两个等腰.例：AE:BD=3:5则AB:BC=4:8=1:2，这是因为相似比为3:5，所以EF:FB=3:5,因此ED=4(勾股)而AD=DF+FA=8.ABFCEADGH知行合一知识改变命运，行动成就人生520、正方形垂等图.垂直相等横平竖直；“改邪归正”的辅助线方法.21、正方形三兄弟成面积图.三个正方形如图摆放，AN恰好过E点.结论：ECGFAGNSS正方形.解法：AC∥EC∥FN(关键点)EGNAGEAGNSSS;ECGAGESS,EGFEGNSS.22、两正方形垂直相等图.如图，ABCD、CGFE是正方形：(1)△DCG≌△BCE;(2)BE⊥DG，BE=GD；(3)A、B、M、D四点共圆，∠ADB=∠AMB=∠AMD=45°,△ADM∽△AND,ANAMAD2；(4)若DM2=ME•MA，则BD=BG，△BDG为等腰三角形.(∠GDC=∠DAM=∠DBM=∠MBG)，此时MA=MB.23、正方形内含半角(其中产生的两个双八字相似和等腰直角三角形)---邻边相等的圆内接四边形内含半角图.条件：正方形ABCD中，∠EBF=45°,结论：(1)EF=AE+FC；(2)ABCDAGNll正方形21;(3)∠DCA=∠EBF=45°B、C、F、H四点共圆，∠BFH=90°△BHF为等腰直角三角形；(4)同上：∠DAC=∠EBF=45°B、K、E、A四点共圆，∠BFE=90°△BHE为等腰直角三角形.24、正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图.(1)正方形内含45°模型推广到圆内接四边形(对角互补的四边形)，有一组邻边相等，且相等的邻边的夹角内含半角.条件：四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC+∠D=180°，ABCEBF21,结论：EF=AE+CF.(2)等腰直角三角形内含45°.条件：等腰直角△ABC，∠FBE=45°，结论：222CEAFEF.(3)其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图.(根据上述模型类比解决：用三角比找到相关边的关系.)正方形互补型.(1)对称中心有直角：OE=OF(2)直角顶点在对角线上：PB=PQAGMDNFEBHCHEFMADBCNGNBCADEFGMKHGFBCAEDEFDCABEFABCOEFABDCABDCABDCPQ知行合一知识改变命运，行动成就人生6DEFnDABCmBCOEDAOAABBCDCDEFEFABCED12小结：对角互补模型(1)全等型--90°条件：①∠AOB=∠DCE=90°;②OC平分∠AOB结论：①CD=CE;②OD+OE=2OC；③221OCSSSOCEOCDODCE.(2)全等型--120°条件：①∠AOB=2∠DCE=120°;②OC平分∠AOB结论：①CD=CE;②OD+OE=OC；③243OCSSSOCEOCDODCE.25、正方形中123成135°点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE’的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE’C=.26、相似模型：(1)正A、错A；正八、错八；正射影、错射影；正K、错K(一线三等角)射影图中：两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比.(2)双八字(共圆图之一)条件