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第一部分专题知识攻略专题一客观题专题攻略第一讲集合、常用逻辑用语与定积分•1．集合中元素的三种性质中互异性对解题的影响最大，特别是含字母参数的集合．•2．集合之间的关系与运算技巧•A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A⇔A⊆B；•A∩∁U(B)＝∅⇔A⊆B.•3．含有n个元素的集合A的子集的个数为2n个，真子集的个数为2n－1个．•[例1](1)(2012年高考湖北卷)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()•A．1B．2•C．3D．4•(2)(2012年高考浙江卷)设集合A＝{x|1x4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝()•A．(1，4)B．(3，4)•C．(1，3)D．(1，2)∪(3，4)•[解析](1)用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．•由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}．•由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．•(2)首先用区间表示出集合B，再用数轴求A∩(∁RB)．•解x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，∴B＝[－1，3]，•则∁RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，•∴A∩(∁RB)＝(3，4)．•[答案](1)D(2)B•1．设全集U＝{x∈Z|≥1}，M∩N＝{1，2}，∁U(M∪N)＝{0}，(∁UM)∩N＝{4，5}，则M＝()•A．{1，2，3}B．{－1，1，2，3}•C．{1，2}D．{－1，1，2}解析：由≥1，得－1≥0，即≤0，解得－1x≤5.因为x∈Z，所以U＝{0，1，2，3，4，5}．如图所示，在韦恩图中分别表示出已知集合中的元素，由M∩N＝{1，2}，可知1∈M，1∈N，2∈M，2∈N；由∁U(M∪N)＝{0}，可知0∉M∪N，所以0∉M，且M∪N＝{1，2，3，4，5}；•由(∁UM)∩N＝{4，5}，可知4∉M，4∈N，5∉M，5∈N.•从而N＝{1，2，4，5}，M＝{1，2，3}．故选A.•答案：A•2．已知集合A＝{x||x－1|2}，B＝{x|0}，若A∩B≠∅，则实数b的取值范围是________．•解析：由题意得A＝{x|－1x3}，0等价于(x－b)(x＋2)0，因为方程(x－b)(x＋2)＝0的两根为－2和b，又由A∩B≠∅，所以b－1.故填b－1.•答案：(－1，＋∞)•1．四种命题有两组等价关系，即原命题与其逆否命题等价，否命题与逆命题等价．•2．含有逻辑联结词的命题的真假判断：命题p∨q，只要p，q至少有一为真，即为真命题，换言之，见真则真；命题p∧q，只要p，q至少有一为假，即为假命题，换言之，见假则假；綈p和p为一真一假两个互为对立的命题．•3．“或”命题和“且”命题的否定：命题p∨q的否定是綈p∧綈q；命题p∧q的否定是綈p∨綈q.•4．含有量词的命题的否定•∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；•∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．•[例2](1)(2012年高考湖南卷)命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是()•A．若α≠，则tanα≠1•B．若α＝，则tanα≠1•C．若tanα≠1，则α≠•D．若tanα≠1，则α＝•(2)(2012年高考福建卷)下列命题中，真命题是()•A．∃x0∈R，ex0≤0•B．∀x∈R，2xx2•C．a＋b＝0的充要条件是＝－1•D．a1，b1是ab1的充分条件•[解析](1)根据原命题与其逆否命题的关系求解．•由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tanα≠1，则α≠.•(2)应用量词和充要条件知识解决．•对于∀x∈R，都有ex0，故选项A是假命题；•当x＝2时，2x＝x2，故选项B是假命题；•当＝－1时，有a＋b＝0，但当a＋b＝0时，如a＝0，b＝0时，无意义，故选项C是假命题；•当a1，b1时，必有ab1，但当ab1时，未必有a1，b1，如当a＝－1，b＝－2时，ab1，但a不大于1，b不大于1，故a1，b1是ab1的充分条件，选项D是真命题．•[答案](1)C(2)D•(2012年潍坊模拟)已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，(m＋2)x2＋10，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是()•A．(－∞，－2)B．[－2，0)•C．(－2，0)D．(0，2)•解析：若p为真命题，则m0；若q为真命题，则m≥－2.所以，若p∧q为真命题，则m∈[－2，0)．•答案：B•1．若p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件．•2．若pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．•3．若p⇔q，则称p是q的充要条件．•4．若pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．•[例3](2012年高考天津卷)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()•A．充分而不必要条件•B．必要而不充分条件•C．充分必要条件•D．既不充分也不必要条件•[解析]由条件推结论和结论推条件后再判断．•若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．•[答案]A•1．(2012年长沙模拟)“a－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点”的()•A．充分不必要条件•B．必要不充分条件•C．充分必要条件•D．既不充分也不必要条件•解析：当a－2时，f(－1)f(2)＝(－a＋3)(2a＋3)0，所以函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点；反过来，当函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点时，不能得知a－2，如当a＝4时，函数f(x)＝ax＋3＝4x＋3在区间[－1，2]上存在零点．•因此，“a－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点”的充分不必要条件，选A.•答案：A•2．已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，若綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是________．•解析：由题意知，p是q的充分不必要条件，•即p的解集是q的解集的子集．•由p：|1－|≤2⇒－2≤－1≤2⇒－1≤≤3•⇒－1≤x≤7，•q：x2－2x＋1－m2≤0⇒[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0，(*)•不等式(*)的解为1－m≤x≤1＋m，所以1－m≤－1且1＋m≥7，•所以实数m的取值范围是[6，＋∞)．•答案：[6，＋∞)•1．定积分的性质•(1)Kf(x)dx＝kf(x)dx；•(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；•(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中acb)．•2．定积分的求法•(1)利用几何意义；•(2)利用微积分基本定理．•一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．•[例4](2012年高考湖北卷)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()[解析]用待定系数法求出二次函数解析式．根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a0)．因为f(x)的图象过(0，1)点，所以－a＝1，即a＝－1.所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.[答案]B•1.•解析：令y＝，∴x2＋y2＝4，x∈[0，2]．•作出图象及由定积分的几何意义知•dx＝×π×22＝π.•答案：π•2．(2012年唐山模拟)由曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为()解析：在直角坐标系内，画出曲线y＝x2＋2x和直线y＝x围成的封闭图形，如图所示，由，得曲线与直线的两个交点坐标为(－1，－1)和(0，0)，故封闭图形的面积为答案：A•【真题】(2012年高考安徽卷)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()•A．充分不必要条件•B．必要不充分条件•C．充分必要条件•D．既不充分也不必要条件•【解析】利用面面垂直的性质定理及空间直线的位置关系，判定充分必要条件．•当α⊥β时，由于α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.•又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．•而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A.•【答案】A【名师点睛】本题借助面面垂直与线面垂直的性质及空间直线的位置关系考查充分必要条件的判定，解题时关键是理解面面垂直的性质定理．高考对充要条件的考查多以选择题形式出现．主要涉及函数性质、三角、平面向量、直线与圆、空间位置关系、不等式性质等相关知识，综合性较强，解法具有一定的灵活性．【押题】“cosα＝35”是“cos2α＝－725”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵cosα＝35，∴cos2α＝2cos2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cosα＝35可推出cos2α＝－725.由cos2α＝－725得cosα＝±35，∴由cos2α＝－725不能推出cosα＝35.【答案】A本小节结束请按ESC键返回