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第一部分系统复习成绩基石第三章函数及其图象第9讲平面直角坐标系与函数的概念沪科版：八年级上册第11章平面直角坐标系，第12章一次函数12.1人教版：七年级下册第7章平面直角坐标系；八年级下册第19章一次函数19.1北师版：八年级上册第3章位置与坐标3.1～3.2，第4章一次函数4.1考点梳理过关考点1平面直角坐标系中点的坐标特征考点2点到坐标轴以及原点的距离考点3点的平移的坐标特征6年2考考点4函数的有关概念6年4考典型例题运用类型1平面直角坐标系中点的坐标【例1】[2017·曹县二模]若点A(a＋1，b－1)在第二象限，则点B(－a，b＋2)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A由A(a＋1，b－1)在第二象限，得a＋1＜0，b－1＞0.由不等式的性质1，得a＜－1，b＞1.由不等式的性质3，得－a＞1.由不等式的性质1，得b＋2＞3，点B(－a，b＋2)在第一象限．类型2平面直角坐标系中点的坐标规律【例2】[2017·恩施中考]函数y＝的自变量x的取值范围是()A．x≥1B．x≥1且x≠3C．x≠3D．1≤x≤3B技法点拨►当函数解析式中既有分式又有二次根式时，既要考虑二次根式有意义，又要使得分母不等于0.函数自变量的取值范围可用口诀表示：分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行．根据题意，得解得x≥1且x≠3.类型3函数图象的判断【例3】[2017·六安模拟]如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是()A∵在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝3.∵点E是BC边上靠近点B的三等分点，∴CE＝×3＝2.①点P在AD上时，△APE的面积y＝x·2＝x(0≤x≤3)；②点P在CD上时，S△APE＝S四边形AECD－S△ADP－S△CEP＝×(2＋3)×2－×3×(x－3)－×2×(3＋2－x)＝5－x＋－5＋x＝－x＋，∴y＝－x＋(3＜x≤5)；③点在CE上时，S△APE＝×(3＋2＋2－x)×2＝－x＋7，∴y＝－x＋7(5＜x≤7)，纵观各选项，只有A选项图象符合题意．变式运用►[2017·淮北模拟]如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是()A点P沿A→D→C→B运动，可知在AD段y随x增大而增大，在DC段y不随x取值变化而变化，在CB段，随着x的增大，y逐渐变小，因此本题要分点P在AD，DC，CB三段进行分段讨论．①当P在AD边上时，如图1，△BAP可看成以AP为底，h1为高的三角形，y＝x·h1，h1为定值，因此y是关于x的正比例函数，图象是一条上升的线段；②当点P在DC边上时，如图2，△BAP可看成以AB为底，h2为高的三角形，y＝AB·h2，AB，h2均为定值，y是一个常数，图象是平行于x轴的线段；③当P在BC边上时，如图3，设AD＋DC＋BC＝a，则BP＝a－x，y＝(a－x)·h3，h3为定值，y是一次函数，图象是一条下降的线段．由此可判断A选项符合题意．类型4坐标系中的规律探究问题【例4】[2017·日照一模]如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是()A．(2018,0)B．(2018,1)C．(2018,2)D．(2017,0)A技法点拨►(1)解决规律探索类问题，要运用一般与特殊的思想，从简单的情况入手，“列而不算，规律自现”；(2)解决循环类型的规律探索问题，找出循环组是关键！A∵第1次运动到点(1,1)，第2次运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，第4次运动到点(4,0)，第5次运动到点(5,1)，…，∴运动后点的横坐标等于运动的次数，第2018次运动后点P的横坐标为2018，纵坐标以1,0,2,0每4次为一个循环组循环．∵2018÷4＝504……2，∴第2018次运动后动点P的纵坐标是第505个循环组的第2次运动，与第2次运动的点的纵坐标相同，为0，∴点P(2018,0)．六年真题全练命题点分析判断函数图象1．[2016·安徽，9,4分]一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(小时)函数关系的图象是()安徽中考近几年在选择题的压轴题中，频频出现结合几何图形的运动变化，考查对函数图象的理解的题目，难度稍大．A根据题意可知甲两小时内运动路程与时间的关系为分段函数，共分为3段，第一段，0≤x≤1时，图象为一条过原点的倾斜线段，且斜率较大，并且过点(1,15)；第二段，当1＜x＜时，图象为平行于x轴的一条线段；第三段，当≤x≤2时，图象为一条倾斜的线段，且斜率小于第一段图象的斜率，故可排除B，D；因为20÷12＝(小时)，乙两小时内运动路程与时间的关系也分段，分为两段，第一段图象为倾斜线段，过原点与点(，20)，且斜率小于甲的第一段，大于甲的第三段．第二段图象也为平行于x轴的线段，故可以排除C，所以选择A选项．2．[2014·安徽，9,4分]如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是()B根据题意可知，需分两种情况讨论：①当P在AB上时，x的取值范围是0＜x≤3，此时点D到PA的距离等于AD的长度4，所以y关于x的函数图象是一条平行于x轴的直线；②当P在BC上时，x的取值范围是3x≤5，如图，作DE⊥AP于点E.∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB.又∵∠B＝∠DEA＝90°，∴△DEA∽△ABP.∴此时函数图象是双曲线的一部分．综上，可判断B选项符合题意．3．[2013·安徽，9,4分]图1所示矩形ABCD中，BC＝x，CD＝y，x与y满足反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是()A．当x＝3时，ECEMB．当y＝9时，ECEMC．当x增大时，EC·CF的值增大D．当y增大时，BE·DF的值不变D由y与x满足反比例函数关系，设y＝，函数图象经过点(3,3)，代入求得k＝9，∴BC＝CD＝3，四边形ABCD是正方形，EC＝EM＝3选项错误；B.y＝9时，x＝＝1，此时EC＝故EC＜EM，选项错误；C.∵BC＝x，∴CD＝y＝由勾股定理，得EC＝∴EC·CF＝＝18(不变)，选项错误；D.CD＝y，则BC＝x＝，BE·DF＝BC·CD＝·y＝9(不变)，选项正确．4．[2012·安徽，9,4分]如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B.且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是()D∵OP＝x，且OA＝2，则AP＝2－x，由切线的性质可知，∠PAB＝90°，∠APB＝60°，利用三角函数可求得AB＝AP·tan60°＝则△PAB的面积y＝∴函数图象为二次函数，对称轴为x＝2.故D正确．猜押预测►[2017·阜阳模拟]小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是()D开始水位慢慢上升，当水由玻璃杯溢出时，容器内最高水位保持不变，当水位慢慢超过空玻璃杯的高度时，水位又缓慢上升，由于此时鱼缸的底面积大于空玻璃杯的底面积，所以同样的流速情况下，水位上升的速度要比刚开始往空玻璃杯中注水时水面高度上升的慢，故选D.得分要领►函数图象的判断：(1)根据实际问题判断函数图象时，需遵循以下几点：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到函数图象中找出对应点；②找特殊点：即指交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断函数的增减性；④看是否与坐标轴相交：即此时另外一个量为0等．(2)以几何图形(动点)为背景判断函数图象的题目，一般的解题思路为设时间为t(或线段长为x)，找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相对应的函数图象，要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围．