空间向量在度量问题中的应用

一、空间两条直线所成的角：),20(所成角为与设空间直线ba),,,(),,(22221111nmldnmld和别为它们的一个方向向量分).021（的夹角为与dd).2()20(则.coscos于是二、空间直线与平面所成的角。),20（为们所成的角相交且不垂直时，设它与平面当直线l,的夹角为与nd).2(2)20(2则.cossinlnd的一个法向量，是的方向向量，是nldndl'lOPAA.''',coscosdddddd或'd三、用向量法求二面角的大小1n2nl1n2nl如图，二面角α-l-β，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α-l-β为或。1n2n21n,nlACBD，则二面角的大小为若,,lBDlAC.,coscosBDACBDACBDAC.从垂足出发的向量均为与注：BDAC.,1111111所成的角与平面的中点，求：直线是棱的所有棱长都是例：已知正三棱柱AMCBBBAMaCBAABCA1B1C1ABCxyzM),0,4,43(),0,,0(),,0,0(),0,0,0(11aaMaCaAA解：建系如图，则),,0,0(),0,43,43(),,,0(1111aAABBaaMCaaAC),..(1zyxnAMC的一个法向量设平面yzyxayaxazayACnMCnACn3043430111)1,1,3(,1,3,1nzxy则令，则所成角为与平面直线，的夹角为与设111)1,1,3(),0,0(AMCBBnaBB.555cossin11aanBBnBB.55arcsin11所成的角的大小为与平面直线AMCBBBAOB’A’DPXY,```PBBDAB0例1:(2002上海高考题)如图在直三棱柱ABO-A`B`O`中,OO`=4,OA=4,OB=3,AOB=90是侧棱上的一点,为中点,若OPBD,求OP与底面AOB所成角的大小.ZO’443),4,2,23(),0,0,3(DB解：建系如图，则),,0,3(zP设),,0,3(),4,2,23(zOPBD则,890429zzOPBDOPBD所成的角，与底面为平面AOBOPPOBAOBBB',83tanOBPBPOBPOBRt中，.83arctan所成的角为与面AOBOP1100111112:(2002,,60,90,2,3.;(2)OABOABOBBOOABOOBAOBOBOOOAOABOABAO111例年上海春季高考题)如图:三棱柱-平面平面且求:(1)二面角的大小异面直线与所成角的大小.1AAB1OXYZOB1111:(1),,(0,0,0),(0,1,3),(3,0,0)(3,13),(0,2,0),(3,1,3),(3,2,0)OOAOBxyOAOBzOOAABAOAB解以为原点,分别以所在的直线为轴,过点且与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系.如图所示.则22311221212212121(0,0,1).(,,).0,0.3230:,3,2,132012(2,3,1).cos,4||||22,OZAOBnOABnxyznAOnABxyzyxzxynnnnnnnn显然为平面的法向量取设平面的法向量为则即令2122arccos.arccos.44nOABO故二面角的大小为1AAB1OXYZOB1法1：法向量1AAB1OXYZOB1法2：EF.,,111的大小所成的角即为二面角与则向量于于作OABOFOEOFABFOEABOE32OABE32.732ABOBOAOEAOBRt中，.73472732coscosABOOEAOEOExE.7673732sinAOEOEyE).0,76,734(E)3,1,0()0,0,3()0,2,0()0,,(yxF令),0,2,3(),3,1,(1AByxFO1AAB1OZOB1EF32)3,1,0()0,0,3()0,2,0()1(0)1(2311yxABFOABFO)0,,3(yxAF)2(233yxABAF∥)0,710,732()2)(1(F可知：由),3,73,732(1FO).0,76,734(EO.4276734)3(7373203)76()73()734(732cos22222111FOEOFOEOFOEO，则的夹角为与设.42arccos故所求二面角的大小为1AAB1OOB123DM法3:OBABOOOBB交线为面面,11,,11AOBDODOBDO面则于作,,,11ABMOMOMABDMD则连于作过.11的平面角是二面角OABOMDO2060,1,360sin2011ODDODOORt中，OABDM311,73sinOBABDDMAOBRt中，7733tan111DMDOMDODMORt中，.7arctan1的大小为故二面角OABO1AAB1OXYZOB122)3,1,3()0,2,0()3,1,0()0,0,3(71cos1111AOBAAOBA)3,1,3(),3,1,3(A11AOB则.71arccosAOA11所成的角为与异面直线B,AOA)2(11所成的角为与设异面直线BABCDM1A1CXYZ:(),C解如图以为原点建立空间直角坐标系.111111211,0,0),(2,1,0),(0,1,1),(,,),2222211(,1,0),(,,),(2,1,1)222211(0,,),0,0.22,.,,.BBADMCDABDMCDABCDDMCDABCDDMABDMBDMCDBDM(2则为平面内的两条相交直线平面01111111112.(2004,,90,1,2,1,,.();().ABCABCACBACCBAAAABBDBCMCDBDMBBDCBD年高考题)如图直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面求面与面所成二面角的大小B1)0,0,2()0,1,2()1,1,0()21,21,22()0,1,22(11111113211(),(,,).444211231(,,),(,,)2224440,.,3cos.3||||cBDGBGGBDBGBDBGBDBGCDBDCDBGCDBGCDBGarc设的中点为,连结则又与的夹角等于所求二面角的平面角.所求二面角的大小等于-3os.3ABCDM1A1CGXYZB1)0,0,2()0,1,2()1,1,0()21,21,22()0,1,22(例4:在四面体P-ABC中,∠APC=900,∠APB=600,PB=BC=4,PC=3,求二面角B-PA-C的大小.ABCP060443D,DAPBD于解：作.所成角与大小为向量的二面角PCDBCPABAPCP,3260sin4sin0BPAPBBDPBDRt中，在,260cos0BPDPPCDPBDBC,2222222PCBDPCDPDPBDPCDPBDBC),cos(332232)32(42222.43arccos,43cos二面角B-PA-C的大小为arccos.43如图，已知点P（x0,y0,z0）,A（x1,y1,z1），平面一个法向量。ncosAPnAPnAP,n，其中，,APcosAPnn的距离。到平面就是点绝对值的PcosAPPAn三、求点到平面的距离eAPnnAPdPAn三、求点P到平面的距离的单位法向量为平面e例5、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。EDABCGFxyz解:建系如图,则G(0,0,2),B(0,4,0),A(4,4,0),D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0)),2,2,4(),2,4,2(GFGE则：的法向量设平面),,,(zyxnEFG02240242zyxGFnzyxGEnxzxy3)3,1,1(n取),2,4,0(GB又.11112nnGBd.11112的距离为到平面故点EFGB四、求异面直线的距离nabEF求两异面直线的距离公式：求两异面直线的距离，先求公垂线的方向向量,再求两异面直线上两点的连结线段在的射影长。nnXYZABCD1A1B1D1CMN.,2,3,4:61111111的距离与求异面直线的中点，、为、中，在长方体例BAMNBBDCNMAAADABDCBAABCD).2,4,0(),1,2,3()1,4,0(),0,2,3(1BAMNNM解：建系如图，则),,,(1zyxnBAMN公垂线的方向向量、设024023001zyzyxBAnMNn则)2,1,34(34,2,1nxzy则令361n的射影的长度为：在又nMA)2,2,3(1.616163614241nnMAd.616161的距离为与异面直线BAMNABCA1B1C1DEGYXZ.)2(.)1(.ABD,2,90.7111110111的距离到平面点所成角的大小与平面求：的重心上的射影是在平面点的中点，与分别是、侧棱角形，中，底面是等腰直角三在直三棱柱例AEDAABDBAGABDEBACCEDAAACBCBAABC2.ABDABGABG,(1)11所成的角与平面是则连解：BA(,2CA则建系如图，设a)0,0,2a)0,2,0(,aB)2,0,2(),1,0,0(1aAD(),1,,(,GaaE)31,32,32aa)1,2,0(),31,3,3(aBDaaGE03232GE2aBD由1a)31,34,32(),2,2,2(1BGBABGBABGBABGA111cos37.37arccosABD1所成的角为与平面BAABCA1B1C1DEXYZ),1,1,1(),1,0,2()2(AEAD(2,0,0)(0,0,1)(1,1,1)则的法向量为设面),,,(zyxnADE的距离为：到平面点ADEA1)2,0,0(1AA002zyxzxAEnADnxyxz2)2,1,1(n1x得取nnAAd1362ABC1A1B1CFEDXYZ1:(1),,,,,BBABCBBxyz解以为原点分别为轴轴轴,建立空间直角坐标系,)2,22,22()2,2,0()2,0,2()1,22,0()0,2,0()2,0,0()0,0,0(111DCAECBB、、、、、则)2,22,22(),1,22,0(DCBE,1030523221,cosDCBE.1030arccos成角为与直线DCBE.BCAAF(3)AFDF,BCFF,AA(2)DCBE(1)BEA,2BB2,ACABCA-ABC811111111111的距离到面的中点，求为若说明理由；的长，若不存在，若存在，求出面使上是否存在点在线段所成的