中考数学专题复习16--矩形折叠问题

1中考数学专题复习16——矩形折叠问来源：家学网【相信自己,掌握未来,家学网值得信赖!】2012年05月18日2012中考数学专题复习16矩形折叠问题一.知识要点折叠问题实质是轴对称问题，其主要特征有：1．图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、对应角相等。2．点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分。问题化归：1．直角三角形的三边关系（勾股定理）2．图形（三角形或四边形）的面积3．相似三角形的对应边成比例。由以上等量关系得出方程解决问题。二.例题精选例1．在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将图形沿着AE对折，使得D点落在BC边上的F处，试求EC的长.2思路分析：找到由折叠产生的所有等量关系，其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出其他线段长度）例2．在长方形ABCD中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC对折，如图所示：（1）请说明△ABF△CFF（2）求思路分析：在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得到了多组等量关系，此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了.例3.在长方形ABCD中，AB=3，BC=5，将图形沿着EF对折，使得B点与D点重合。（1）说明DE=DF3（2）求（3）求EF的长度思路分析：（1）要说明DE=DF，有两种思路：①可说明全等；②可说明△DEF是等腰三角形，DE、DF是两腰所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰例4如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．(1)如图②，若M为AD边的中点，①,△AEM的周长=_____cm；②求证：EP=AE+DP；(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．思路分析：（1）①设AE=x，由折叠的性质可知EM=BE=12-x，在Rt△AEM中，运用勾股定理求AE；②过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接BM，根据折叠的性质得点B和点M关于EF对称，即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可证△ABM≌△GFE，把求EF的问题转化为求BM；（2）设AE=x，AM=y，则BE=EM=12-x，MD=12-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出x、y的关系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长．三.能力训练1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.4A．2＋B．2＋2C．12D．182.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为()A．4B．3C．2D．13.如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′等于（）（A）144°（B）126°（C）108°（D）72°4.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合点为A＇，则△A＇BG的面积与该矩形的面积比为（）A．B．C．D．5第4题图第5题图5.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且=3，则AM的长是（）A．1.5B．2C．2.25D．2.56.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A’，D’处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cmB．36cmC．40cmD．72cm7.如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm8.小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，ADCD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N6处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．9.如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm.10.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.思维拓展：71.如图，折叠矩形的一边AD，折痕为AE，点E在边CD上，折叠后点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求AE的长.2.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕,且，求直线CE与x轴交点P的坐标；83.已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。（1）当时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。95.问题解决如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．类比归纳10在图（1）中，若则的值等于；若则的值等于；若（为整数），则的值等于．（用含的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于．（用含的式子表示）参考答案例1由题意可得：AD=BC=10，又由折叠可知：AF=AD=10DE=EF∴在Rt△ABF中，根据勾股定理可得：11∴BF=6，∴FC=10-6=4。设DE=，则，故，在Rt△CEF中，根据勾股定理可得：，解得：即：DE=5另解：本题亦可以由长方形的面积S长方形ABCD=S△ABF+S△ADE+S△AEF+S△ECF列出方程：解得例2解：（1）由题意可得：AD=BC=8，CD=AB=4又由折叠可知：AE=AD=8，CE=CD=4，∠E=∠D=90°在△ABF与△CEF中：∠B=∠E=90°∠AFB=∠CFE（对顶角相等）AB=CE=4∴△ABF△CFF（AAS）（2）∵△ABF△CFF，∴AF=FC，BF=EF设EF=，则BF=，∴在Rt△CEF中，由勾股定理可得：解得：即EF=3∴此题中对于△ABF，同样可以通过设未知数，利用勾股定理求解。例3解：（1）方法一：由题意可得：CD=AB=3，∠ADC=90°12由折叠可得：DG=CD=3，∠G=∠C=90°，∠GDF=∠B=90°∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°∴∠1=∠3故在△DEG与△DCF中：∠G=∠C（已证）DG=CD（已证）∴△DEG≌△DCF（ASA）∠1=∠3（已证）∴DE=DF方法二：∵长方形ABCD∴AD∥BC∴∠4=∠6（两直线平行，内错角相等）又由折叠可知∠4=∠5∴∠5=∠6（等量代换）∴DE=DF（等角对等边）13（2）求解：由折叠可知：EG=AE设，则，∴故在Rt△DEG中，根据勾股定理可得：解得：故EGDE=例414能力训练答案151.B2.B3.B4.C5.B6.B7.A8.9.10.（1）△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=B′C=AD，∠B=∠B′=∠D又∠B′EC=∠DEA∴△AED≌△CEB′（2）延长HP交AB于M，则PM⊥AB∵∠1=∠2，PG⊥AB′∴PM=PG∵CD∥AB∴∠2=∠3∴∠1=∠3∴AE=CH=8-3=5在Rt△ADE中，DE=3AD==4∵PH+PM=AD∴PG+PH=AD=4.思维拓展答案：1.52.(16,0)3.设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN⊥OB，垂足为N．由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4-1/3k，MF=CF=3-1/4k，∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，∴∠EMN=∠MFB．又∵∠ENM=∠MBF=90°，∴△EMN∽△MFB．16∴EN/MB=EM/MF，∴3/MB=(4-1/3k)/(3-1/4k)=[4(1-1/12k)]/[3(1-1/12k)]，∴MB=9/4．∵MB²+BF²=MF²，∴(9/4)²+(k/4)²=(3-1/4k)²，解得k=21/8．∴BF=k/4=21/32．∴存在符合条件的点F，它的坐标为（4，21/32）．4.解：（1）3，（2）．当时，如图1，连接，为折痕，，令为，则，在中，，，解得，此时菱形边长为．（3）如图2，过作，易证，，17当与点重合时，如图3，连接，，，．显然，函数的值在轴的右侧随的增大而增大，当时，有最大值．此时，．综上所述，当取最大值时，，5.解：方法一：如图（1-1），连接．由题设，得四边形和四边形关于直线对称．∴垂直平分．∴∵四边形是正方形，∴∵设则在中，．∴解得，即18在和在中，，，设则∴解得即分∴方法二：同方法一，如图（1－2），过点做交于点，连接∵∴四边形是平行四边形．∴同理，四边形也是平行四边形．∴∵19在与中∴∵∴类比归纳（或）；；联系拓广相关推荐中考数学专题复习16——矩形折叠问2012-05-18中考数学