立体几何中的向量方法(距离问题)

空间“距离”问题复习回顾：1.异面直线所成角：coscos,CDAB||2.直线与平面所成角：sincos,nAB||3.二面角：cos12|cos,|nn关键：观察二面角的范围ABCD1DABOn1n2ncos12|cos,|nn向量法求空间距离的求解方法1.空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面的距离.其中直线到平面的距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离.2.空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则222121212()()()ABxxyyzz3、点到直线的距离：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则asin,dAPAPa点P与直线l的距离为d,则例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设BADADAAAB，116011DAABAA化为向量问题依据向量的加法法则，11AAADABAC进行向量运算2121)(AAADABAC)(2112122AAADAAABADABAAADAB)60cos60cos60(cos21116所以6||1AC回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。1AC6思考：(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离）11BDBABCBB1112060ABCABBBBC其中，思考(1)分析:易知对角线1BD的长与棱长的关系.思考(2)分析:1111DAABAABADxAAADABaAC，，设11ACABADAA由222211112()ACABADAAABADABAAADAA22232(3cos)axx即136cosxa∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离转化为点面距离来求.11HACHAA于点平面点作过解：.1的距离为所求相对两个面之间则HA111AAADABBADADAABA且由.上在ACH22()112cos6033ACABBCAC1111()cos60cos601.AAACAAABBCAAABAABC1111cos||||3AAACAACAAAC36sin1ACA36sin111ACAAAHA∴所求的距离是6.3思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?如何用向量法求点到平面的距离?总结：平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,能否用AP与n表示d?分析:过P作PO⊥于O,连结OA.则d=|PO|=||cos.PAAPO∵PO⊥,,n∴PO∥n.∴cos∠APO=|cos,PAn|.∴d=|PA||cos,PAn|=|||||cos,|||PAnPAnn=||||PAnn.nAPO4、用向量法求点到平面的距离：练习如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD68DABCGFExyz解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．(2,2,0),(2,4,2),EFEGnEFnEG，|BE|211.11ndn2202420xyxyZ11(,,1),33nB(2,0,0)E答:点B到平面EFG的距离为21111.例1:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.ABCD1A1B1C1DExyz例2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，(1)求点E到直线A1B的距离.建立坐标系111解:.AE=(-1,,0),AB=(0,1,-1)2111cos,10AEAB113sin,10AEAB点E到直线A1B的距离为1113sin,24dAEAEABABCD1A1B1C1DExyz(2)求B1到面A1BE的距离；例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，11112(,,)AEABnxyzABE解=(-1,,0),=(0,1,-1)设为面的法:向量，则110,0,nAEnAB10,20,xyyz2,2,yxzx即11(1,2,2)xABEn取＝，得平面的一个法向量11110,1,0,BABEAB选点到面的斜向量为111123ABnBABEdn得到面的距离为ABCD1A1B1C1DExyz例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，(3)求D1C到面A1BE的距离；解:∵D1C∥面A1BE∴D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离仿上法求得111113DAnDABEdn到面的距离为ABCD1A1B1C1Dxyz例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，(4)求面A1DB与面D1CB1的距离；解:∵面D1CB1∥面A1BD∴D1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离111(1,1,1)(1,0,0)ABDnDA易得平面的一法向量且111133DAnDABDdn则到面的距离为nabCDABCD为a,b的公垂线则||||nABnCDA，B分别在直线a,b上已知a,b是异面直线，n为的法向量3.异面直线间的距离即间的距离可转化为向量在n上的射影长，21,llCD小结：1、怎样利用向量求距离？①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值）。②点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。③直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。④平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。总结2、E为平面α外一点,F为α内任意一点,为平面α的法向量,则点E到平面的距离为:n||||nEFnd