电磁场的矢势和标势

第五章电磁波的辐射ElectromagneticWaveRadiation本章所研究的问题是电磁波的辐射。方法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电流分布激发电磁场的问题时，引入势的概念来描述电磁场比较方便。本章首先把势的概念推广到一般变化电磁场情况，然后通过势来解辐射问题。本章主要内容电磁场的矢势和标势推迟势电偶极辐射电磁波的干涉和衍射电磁场的动量§5.1电磁场的矢势和标势VectorandScalarPotentialofElectromagnetic1、用势描述电磁场为简单起见，讨论真空中的电磁场：0tDjHBtBED,A.,00HBED针对磁场引入的物理意义可由下式看出：即在任一时刻，矢量沿任一闭合回路L的线积分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。0BABLSsdBldAAA对于电场不能像静电场那样直接引入电势。由Faraday电磁感应定律可得：EtAAttBE)(0tAEtAE是标势不是静电势即tAE电磁场和势之间的关系如下tAEAB注意：a)当与时间无关，即时,且这时就直接归结为电势；A0tAEb)绝对不要把中的标势与电势混为一谈。因为在非稳恒情况下，不再是保守力场，不存在势能的概念，这就是说现在的，在数值上不等于把单位正电荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把这里的称为标势（Scalarpotential)。c)在时变场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。tAE)(EEA2、规范变换和规范不变性虽然和，以及和是描述电磁场的两种等价的方式，但由于、和、之间是微分方程的关系，所以它们之间的关系不是一一对应的，这是因为矢势可以加上一个任意标量函数的梯度，结果不影响，而这个任意标量函数的梯度在中对要发生影响，但将中的与此融合也作相应的变换，则仍可使保持不变。EBAEBAABtAEEtAEE设为任意的标量函数，即，作下述变换式：于是我们得到了一组新的，很容易证明：),(txtAAA.A由此可见，和描述同一电磁场。EtAttAtAtttABAAAA)()()()()()().(A).(Aa)库仑规范(Coulombgauge)库仑规范条件为，即规定是一个有旋无源场（横场）。这个规范的特点是的纵场部分完全由描述（即具有无旋性)，横场部分由描述（即具有无源性）。由可见，项对应库仑场，对应着感应0AAEAtAtAE库EtA场。b)洛仑兹规范(Lorentzgauge)洛仑兹规范条件为，即规定是一个有旋有源场（即包含横场和纵场两部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为特别简单的对称形式。感E012tCAAA3、达朗贝尔(d’Alembert)方程从Maxwell’sequations及出发推导矢势和标势所满足的方程，得到：00B=HDEAEBAtA02022222)1(1AtjtcAtAcAa)采用库仑规范上述方程化为此时，标势所满足的方程与静电场相同。b)采用洛仑兹规范())0(AjtctAcA02222202)(11012tcA上述方程化为这就是所谓达朗贝尔（d’Alembert）方程。jtAcAtc0222202222114、举例讨论试求单色平面电磁波的势Solution:单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在Lorentz规范条件下）变为波动方程：其解的形式为：010122222222tAcAtc由Lorentz规范条件，即得这表明，只要给定了，就可以确定单色平面电磁波，这是因为：012tcAAkcicAki220)(1A)(0)(0txkitxkieAAe)()()(2222AkkciAkAkkciAiAkckiAikitAE横纵横纵横AkiAkiAkiAAkiAkiAB)(0（对于单色平面波而言）如果取，即只取具有横向分量，那么有从而得到：因此有：BncBkcˆ2横AAA0横AkAk02Akc其中：如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变为横横AiAitAtAEAkiAkiAB)0(Ak0110222222tctAcA当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势，则只有其解的形式为由库仑规范条件得到即保证了只有横向分量，即，从而得到0012222tAcA)(0txkieAA0AkiAA横AA通过例子可看到：库仑规范的优点是：它的标势描述库仑作用，可直接由电荷分布求出，它的矢势只有横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。洛仑兹规范的优点是：它的标势和矢势构成的势方程具有对称性。它的矢势的纵向部)0(AAiAitAtAEAkiAkiAB横横AAA分和标势的选择还可以有任意性，即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。