DMS博明学校 正余弦定理及应用 高考数学专题

DMS博明学校高考（高三复习）内部培训资料DMS博明学校中高考专业辅导机构1博明学校2011年高考专题复习（正、余弦定理及应用）一、知识梳理1正弦定理：2sinsinsinabcRABC，2余弦定理：222222222222222222cos,22cos,2cos,cos,22cos.cos.2bcaAbcabcbcAacbbacacBBaccababCabcCab3推论：正余弦定理的边角互换功能①2sinaRA，2sinbRB，2sincRC②sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR③sinsinsinabcABC=sinsinsinabcABC=2R④::sin:sin:sinabcABC⑤222sinsinsin2sinsincosABCBCA222sinsinsin2sinsincosBCACAB222sinsinsin2sinsincosCABABC4三角形中的基本关系式：sin()sin,cos()cos,sincos,cossin2222BCABCABCABCA主要方法：通过对题目的分析找到相应的边角互换功能的式子进行转换.利用正余弦定理可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系。1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝ca，cosA＝sinB＝cb，tanA＝ba。2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。DMS博明学校高考（高三复习）内部培训资料DMS博明学校中高考专业辅导机构2RCcBbAa2sinsinsin。（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面积公式：（1）△＝21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）△＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB；（3）△＝)sin(2sinsin2CBCBa＝)sin(2sinsin2ACACb＝)sin(2sinsin2BABAc；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（5）△＝Rabc4；（6）△＝))()((csbsass；)(21cbas；（7）△＝r·s。4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=π；（2）边与边关系：a+bc，b+ca，c+ab，a－bc，b－ca，c－ab；（3）边与角关系：正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R为外接圆半径）；余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA；它们的变形形式有：a=2RsinA，baBAsinsin，bcacbA2cos222。5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r为三角形内切圆半径，p为周长之半。（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。DMS博明学校高考（高三复习）内部培训资料DMS博明学校中高考专业辅导机构3二、正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．例1ABC中，3A，BC＝3，则ABC的周长为（）A．33sin34BB．36sin34BC．33sin6BD．36sin6B分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．解：由正弦定理得：32sinsinsinsinsinsinsin()33bcbcbcBCBCBB，得b＋c＝23[sinB＋sin(23－B)]＝6sin()6B．故三角形的周长为：3＋b＋c＝36sin6B，故选(D)．评注：由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝6，周长应为33＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．例2(2005年全国高考湖北卷)在ΔABC中，已知66cos,364BAB，AC边上的中线BD=5，求sinA的值．分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且36221ABDE，设BE＝x奎屯王新敞新疆在ΔBDE中利用余弦定理可得：BEDEDBEEDBEBDcos2222，xx6636223852，解得1x，37x（舍去）奎屯王新敞新疆故BC=2，从而328cos2222BBCABBCABAC，即3212AC奎屯王新敞新疆又630sinB，DMS博明学校高考（高三复习）内部培训资料DMS博明学校中高考专业辅导机构4故22123sin306A，1470sinA奎屯王新敞新疆二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例3在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解法1：由CBAsincossin2＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．解法2：由题意，得cosB＝sin2sin2CcAa，再由余弦定理，得cosB＝2222acbac．∴2222acbac＝2ca，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．三、解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．例4在ABC中，若120A，5AB，7BC，则ABC的面积S＝_________奎屯王新敞新疆分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝21AB•ACsinA即可解决．解：由余弦定理，得cosA＝2222254912102ABACBCACABACAC，解得AC＝3．∴S＝21AB•ACsinA＝4315．∴21AB•AC•sinA＝21AC•h，得h＝AB•sinA＝223，故选(A)．四、求值问题例5在ABC中，CBA、、所对的边长分别为cba、、，设cba、、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值．分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理BBBCbcsin)120sin(sinsin321,21cot23sinsin120coscos120sinBBBB解得,2cotB从而.21tanB五、正余弦定理解三角形的实际应用DMS博明学校高考（高三复习）内部培训资料DMS博明学校中高考专业辅导机构5利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例1如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得sinsinACABCBAACB，∴AC=AB=120m，又∵11sin22ABCSABACCABABCD，解得CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追击问题例3如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？解析：设用th，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β。∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理2222cosACABBCABBC，2212881202920()2ttt，212860270tt，（4t－3）（32t+9）=0，解得t=34，t=932（舍）∴AC=28×34=21nmile，BC=20×34=15nmile。西北南东ABC30°15°图2图1ABCD图3ABC北45°15°DMS博明学校高考（高三复习）内部培训资料DMS博明学校中高考专业辅导机构6根据正弦定理，得315sin532sin2114BCAC，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin5314，又5314＜7214＜22，∴arcsin5314＜4，∴甲船沿南偏东4－