运筹学运输问题分析

Chapter3运输规划(TransportationProblem)运输规划问题的数学模型表上作业法运输问题的应用本章主要内容：运输规划问题的数学模型例3.1某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？B1B2B3产量A1646200A2655300销量150150200运输规划问题的数学模型解：产销平衡问题：总产量=总销量＝500设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：B1B2B3产量A1x11x12x13200A2x21x22x23300销量150150200MinC=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t.x11+x12+x13=200x21+x22+x23=300x11+x21=150x12+x22=150x13+x23=200xij≥0(i=1、2；j=1、2、3）运输规划问题的数学模型运输问题的一般形式：产销平衡A1、A2、…、Am表示某物资的m个产地；B1、B2、…、Bn表示某物质的n个销地；ai表示产地Ai的产量；bj表示销地Bj的销量；cij表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：minjijijxcz11min111,,.1,,0,1,,;1,,nijijmijjiijxaimstxbjnximjnLLLL运输规划问题的数学模型已知资料如下：销产地地产量1nBBL1mAAM1maaM1nbbL1111nmmnccccLMMLnijjm1iiba产销平衡销量运价的单位运价到为ijijijBAc运输规划问题的数学模型)(0min11ijjijijiijminjijijxbabxaxxcZ当产销平衡时，其模型如下：运输规划问题的数学模型当产大于销时，其模型如下：)(0min11ijjijijiijminjijijxbabxaxxcZ运输规划问题的数学模型当产小于销时，其模型如下：0,0,0)(0minijjijjiijjijiijijijcbabaxbxaxxcZ并假设：运输规划问题的数学模型特征：1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解；2、运输问题的基本可行解中应包括m+n－1个基变量。运输规划问题的数学模型运输问题约束条件的系数矩阵111111111111111111LLOLOOOOnnmmmnxxxxxxxxx111212122212LLLLmn运输规划问题的数学模型销产B1B2…Bn产量c11c12c1nA1x11x12…x1na1c21c22c2nA2x21x22…x2na2┇┇┇┇┇┇cm1cm2cmnAmxm1xm2…xmnam销量b1b1…bn平衡表、运价表合二为一：基本可行解是否最优解结束换基是否运输问题的求解思路运输规划问题的数学模型计算步骤：(1)找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法或伏格尔法）(2)求检验数。（闭回路法或位势法）判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则转到下一步。(3)对方案进行改善，找出新的调运方案。（表上闭回路法调整）确定m+n-1个基变量(4)重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。空格二、表上作业法表上作业法表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。步骤描述方法第一步求初始基行可行解（初始调运方案）最小元素法、西北角法、伏格尔法第二步求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验数σij全都非负(求min)时得到最优解，若存在检验数σij0，说明还没有达到最优，转第三步。闭回路法和位势法第三步调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运量进行调整得到新的基可行解，转入第二步表上作业法例3.2某运输资料如下表所示：单位销地运价产地产量311310719284741059销量36564321BBBB321AAA问：应如何调运可使总运输费用最小？1、求初始方案：最小元素法、西北角法、伏格尔法表上作业法基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。B1B2B3B4产量A17A24A39销量3656311310192741058总的运输费＝(3×1)+(6×4)+(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元方法1：最小元素法341633表上作业法练习销地产地B1B2B3B4产量A1675314A2842727A35910619销量221312131213131912表上作业法（2）西北角法（或左上角法）此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背景，但它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。方法如下：365674934490656404902562029005620090036360000000340002200036表上作业法在满足约束条件下尽可能的给最左上角的变量最大值.销地产地B1B2B3B4产量A141241116A22103910A38511622销量8141214488864814所以，初始基可行解为：(8,8,4,8,14)目标函数值Z＝372例3.3某运输资料如下表所示：表上作业法练习销地产地B1B2B3B4产量A1675314A2842727A35910619销量22131213813131466表上作业法最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处要多花几倍的运费。伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处，就应当采用最小运费调运。例如下面两种运输方案。最小元素法：15152012105815510总运费是z=10×8+5×2+15×1=10515152012105851510另一种方法：总运费z=10×5+15×2+5×1=85表上作业法方法2：Vogel法1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。B1B2B3B4产量行差额A177A241A391销量3656列差额251331131019274105810-3=72-1=15-4=13-1=29-4=53-2=18-5=3表上作业法2）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列。重复1)和2)，直到找出初始解为至。B1B2B3B4产量行差额A177A241A391销量3656列差额25133113101927410585表上作业法单位销地运价产地产量行差额311310719284741059销量3656列差额4321BBBB321AAA7135275×××3×表上作业法单位销地运价产地产量行差额311310719284741059销量3656列差额4321BBBB321AAA113515×××3×631××2该方案的总运费:(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元销地产地B1B2B3B4产量行差额A1412411160A221039101A385116221销量814121448列差额251314所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244表上作业法例3.4某运输资料如下表所示：销地产地B1B2B3B4产量行差额A1412411160A221039101A385116221销量814121448列差额21314所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝2448表上作业法例3.4某运输资料如下表所示：销地产地B1B2B3B4产量行差额A1412411160A221039101A385116221销量814121448列差额21314所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝24488表上作业法例3.4某运输资料如下表所示：销地产地B1B2B3B4产量行差额A1412411160A221039101A38511622销量814121448列差额1314所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝24488表上作业法例3.4某运输资料如下表所示：12销地产地B1B2B3B4产量行差额A1412411160A221039101A38511622销量814121448列差额314所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝24488表上作业法例3.4某运输资料如下表所示：1224表上作业法练习销地产地B1B2B3B4产量A1675314A2842727A35910619销量221312131213121319表上作业法2、最优解的判别（检验数的求法）求检验数的方法有两种：闭回路法对偶变量法（位势法）（1）闭合回路法：σij≥0（因为目标函数要求最小化）表格中有调运量的地方为基变量，空格处为非基变量。基变量的检验数σij＝0，非基变量的检验数σij≥0。σij0表示运费减少，σij0表示运费增加。闭回路：从空格出发顺时针(或逆时针)画水平(或垂直)直线，遇到填有运量的方格可转90°，然后继续前进，直到到达出发的空格所形成的闭合回路。调运方案的任意空格存在唯一闭回路。表上作业法注：1.每一空格有且仅有一条闭回路；2.如果某数字格有闭回路，则此解不是可行解。mnmnzzxxxx0111112122121Lmnxxxzz11121101,0L若令则—运费的增量分析：表上作业法以最小元素法的初始解为例。假设产地A1供应1个单位的物品给销地B1。则解的变化和目标函数的变化如何。销地产地B1B2B3B4产量A141241116106A2210391082A38511622148销量814121448表上作业法要保证产销平衡，则1,12344110zz111121231311xxxx称为闭回路21231311xxxx销地产地B1B2B3B4产量A141241116106A2210391082A38511622148销量8141214481表上作业法销地产地B1B2B3B4产量A141241116106A2210391082A38511622148销量81412144812561112122表上作业法销地产地B1B2B3B4产量A141241116106A2210391082A38511622148销量81412144811561143102221表上作业法销地产地B1B2B3B4产量A141241116106A2210391082A38511622148销量8141214481031823411610211表上作业法销地产地B1B2B3B4产量A141241116106A2210391082A38511622148销量81412144813311411612211210表上作业法销地产地B1B2B3B4产量A141241116106A2210391082A38511622148销量81412144812493411121-11210检验数中有负数，说明原方案不是最优解。表上作业法练习销地产地B1B2B3B4产量A167531414A28427278136A35910619613销量221312135579-3-11uivjm个n个minjijijxczmin11nijijmijjixaimxbjn11(1,,)(1,,)LLijximjn0(1,,;1,,)LL（2）对偶变量法（位势法）表上作业法设其对偶变量为：mnYuuuvvv1212(