2019安徽中考数学专题训练——--圆的综合题

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圆的综合题1.如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于点D,AE平分∠BAC交BC于点E,交CD于点F,且CE=CF.(1)求证:直线CA是⊙O的切线;(2)若BD=43DC,求CFDF的值.第1题图(1)证明:∵CE=CF,∴∠CEF=∠CFE,∵∠AFD=∠CFE,∴∠CEF=∠AFD.∵BC是⊙O的直径,∴DC⊥AB,即∠ADC=90°,∴∠DAF+∠AFD=90°.∵AE平分∠BAC,∴∠DAF=∠EAC,∴∠EAC+∠AEC=90°,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC,∵OC是⊙O的半径,∴直线CA是⊙O的切线;(2)解:如解图,过点F作FG⊥AC于点G,第1题解图∵∠B+∠BCD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B.∵AE平分∠BAC,∴FG=DF,∵BD=43DC,∴BC=22CDBD=53CD,∴在Rt△BCD中,sinB=BCCD=35,在Rt△CFG中,sin∠FCG=FCFG=sinB=35,∴CFDF=FCFG=35.2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD,BD,CD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=10,cos∠ABC=35,求tan∠DBC的值.第2题图(1)证明:∵AB为⊙O直径,∴∠ACB=90°.又∵OD∥BC,∴∠AEO=∠ACB=90°,∴OD⊥AC,∴AD=CD;(2)解:∵AB=10,∴OA=OD=12AB=5,∵OD∥BC,∴∠AOE=∠ABC.在Rt△AEO中,OE=OA·cos∠AOE=OA·cos∠ABC=5×35=3,∴DE=OD-OE=5-3=2.由勾股定理得,AE=22OEAO=52-32=4,在Rt△AED中,tan∠DAE=AEDE=24=12.又∵∠DBC=∠DAE,∴tan∠DBC=12.3.如图,点A,B,C在⊙O上,连接PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,∠ACB=60°.(1)求∠P的度数;(2)若⊙O的半径长为4cm,求图中阴影部分的面积.第3题图解:(1)如解图,连接OA,OB,第3题解图∵PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,∴∠PAO=90°,∠PBO=90°,∴∠AOB+∠P=180°,∵∠AOB=2∠ACB=120°,∴∠P=60°;(2)如解图,连接OP,∵PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,∴∠APO=12∠APB=30°.在Rt△APO中,tan30°=APOA,则AP=30tanOA,∵OA=4cm,∴AP=43cm.∴阴影部分的面积为2×(12×4×43-3604602π)=(163-163π)cm2.4.如图所示,AB为⊙0的直径,PD切⊙0于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)若PB=6,DB=8,求⊙O的半径.第4题图(1)证明:∵DE⊥PE,∴∠E=90°,∴∠DOE+∠EDO=90°,∵∠EDB+∠EPB,∠DOE=∠POB,∴∠EPB+∠POB=90°,∴∠OBP=90°,∴OB⊥PB,∵OB为⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线;(2)解:设⊙O的半径为x,则OD=8-x,由(1)得∠PBD=90°,∴在Rt△PBD中,PD=22BDPB=10,∵PD为⊙O的切线,∴OC⊥PD,∴S△POD=21PD×OC=21OD×PB,即10x=6(8-x),解得x=3,∴⊙O的半径为3.5.如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A和B为切点,AC为直径,连接BC,PO.(1)求证:BC∥PO;(2)若AP=8,BC=7.2,求PO的长.第5题图(1)证明:如解图,连接AB交OP于点M,连接BO,第5题解图∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB,∵OA=OB,∴PO垂直平分AB,∴∠AMO=90°,∵AC是⊙O的直径,∴∠CBA=90°,∴∠CBA=∠AMO,∴BC∥OP;(2)解:由(1)知PO垂直平分AB,∴AB⊥OP,AM=BM,∵OA=OC,∴OM为△ABC的中位线,∴OM=12BC=3.6,∵∠PAO=∠PMA=90°,∠APO=∠MPA,∴△PAO∽△PMA,∴PAPOPMPA,即6.38PO=8PO,解得PO=10.6.如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦.过点B作BC//AD,交⊙O于点C,连接AC,过点C作CD//AB,交AD于点D.连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6.求PC的长.第6题图解:(1)直线PC与⊙O相切,理由如下:如解图,连接CO并延长交⊙O于点E,连接EB,第6题解图∵CE是⊙O的直径,∴∠EBC=90°,∴∠E+∠BCO=90°,∵CD∥AB,∴∠ACD=∠BAC,∵∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD,∴∠E=∠BCP,∴∠BCP+∠BCO=90°,即∠PCO=90°,∴OC⊥PC,∵OC是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线;(2)∵AD是⊙O的切线,∴OA⊥AD,∵BC∥AD,∴AM⊥BC,∴BM=CM=21BC=3,AC=AB=9,在Rt△AMC中,由勾股定理得22CMACAM=62,设OC=r,则OM=62-r,在Rt△OMC中,由勾股定理得222OCCMOM,即222326rr,解得8227r,即8227OC,∴OM=62-8227=8221,∵OC⊥PC,∴∠MCP+∠MCO=90°,又∵AM⊥BC,∴∠MOC+∠MCO=90°,∴∠MOC=∠MCP,∵∠OMC=∠CMP,∴△OMC∽△CMP,∴CMOMPCOC,即382218227PC,解得727PC,∴PC的长为727.7.如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=21∠CAB.(1)求证:直线BF是⊙O的切线;(2)若AB=5,BC=25,求cos∠CBF.第7题图(1)证明:如解图,连接AE,第7题解图∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∵AB=AC,∴∠BAE=21∠CAB,又∵∠CBF=21∠CAB,∴∠BAE=∠CBF,∴∠EAB+∠ABE=90°,∴∠CBF+∠ABC=90°,即∠ABF=90°,∴AB⊥BF,又∵AB为⊙O的直径,∴直线BF为⊙O的切线;(2)由(1)得∠BAE=∠CBF,∠AEB=90°,∴cos∠CBF=cos∠BAE=ABAE,在Rt△ABE中,AB=5,BE=5,∴AE=22BEAB=25,∴cos∠CBF=552.8.如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,连接AO并延长,交PB的延长线于点C,连接PO,交⊙O于点D.(1)求证:PO平分∠APC;(2)连接BD,若∠C=30°,求∠DBP的大小.第8题图(1)证明:如解图,连接OB.第8题解图∵PA、PB是⊙O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP.∵OA=OB,∴PO平分∠APC;(2)解:∵OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠CAP=∠OBP=90°,∵∠C=30°,∴∠APC=90°-∠C=90°-30°=60°.∵PO平分∠APC,∴∠OPC=12∠APC=12×60°=30°,∴∠POB=90°-∠OPC=90°-30°=60°,又∵OD=OB,∴△OBD是等边三角形,∴∠OBD=60°,∴∠DBP=90°-∠OBD=90°-60°=30°.9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,E是AC的中点,OE交CD于点F.(1)若∠BCD=36°,BC=10,求BD︵的长;(2)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(3)求证:2CE2=AB·EF.第9题图(1)解:如解图,连接OD,第9题解图∵∠BCD=36°,∴∠BOD=2∠BCD=2×36°=72°,∵BC是⊙O的直径,BC=10,∴OB=5,∴lBD︵=180572π=2π;(2)解:DE是⊙O的切线;理由如下:∵BC是⊙O的直径,∴∠ADC=180°-∠BDC=90°,又∵点E是线段AC中点,∴DE=12AC=EC,在△DOE与△COE中,CEDEOEOEOCOD,∴△DOE≌△COE(SSS).∵∠ACB=90°,∴∠ODE=∠OCE=90°,∵OD是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线;(3)证明:由(2)知,△DOE≌△COE,∴OE是线段CD的垂直平分线,∴点F是线段CD中点,∵点E是线段AC中点,则EF=12AD,∵∠BAC=∠CAD,∠ADC=∠ACB,∴△ACD∽△ABC,则ACADABAC,即AC2=AB·AD,而AC=2CE,AD=2EF,∴(2CE)2=AB·2EF,即4CE2=AB·2EF,∴2CE2=AB·EF.10.如图,点A,B,C,D是直径为AB的⊙O上的四个点,CD=BC,AC与BD交于点E.(1)求证:DC2=CE·AC;(2)若AE=2EC,求AOAD的值;(3)在(2)的条件下,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点H,若S△ACH=93,求EC的长.第10题图(1)证明:∵CD=BC,∴CD︵=BC︵,∴∠BDC=∠DAC,∵∠DCE=∠ACD,∴△CDE∽△CAD,∴CDCECACD,∴DC2=CE·AC;(2)解:如解图,连接OE,设CE=x,第10题解图∵AE=2CE,∴AE=2x,∴AC=AE+CE=3x,由(1)知,CD2=x·3x=3x2,∴CD=3x,∵CD=BC,∴BC=3x.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ABC中,根据勾股定理得,AB=22BCAC=23x,∴OA=OB=12AB=3x,∴OB=OC=BC,∴△BOC是等边三角形,∵CD︵=BC︵,∴OC⊥BE,∴OE=12OB=32x,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°=∠OEB,∴OE∥AD,∵OA=OB,∴AD=2OE=3x,∴OAAD=xx33=1;(3)解:由(2)知,△BOC是等边三角形,∴∠BOC=60°,∵CH是⊙O的切线,∴∠OCH=90°,∴∠CHO=30°,∴OH=2OC,∵OH=OB+BH=OC+BH,∴OB=BH,∴OA=OB=BH,∴S△ACH=3S△BOC=93,∴S△BOC=33,∵S△BOC=34OB2=34×(3x)2=33,解得x=-2(舍去)或x=2,∴EC的长为2.11.如图①,AB是⊙O的直径,C是圆上一点,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AB=10,AC=6,求BD的长;(3)如图②,若F是OA的中点,FG⊥OA交直线DE于点G,若FG=194,tan∠BAD=34,求⊙O的半径.图①图②第11题图(1)证明:如解图①,连接OD,第11题解图①∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠DAE,∴∠ODA=∠DAE,∴OD∥AE,∴∠ODE+∠AED=180°,∵∠AED=90°,∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE,∵OD是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线;(2)解:如解图①,连接BC,交OD于点N,∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°,∵OD∥AE,O是AB的中点,∴ON∥AC,且ON=12AC,∴∠ONB=90°,且ON=3,OB=5,则BN=4,ND=2,∴BD=42+22=25;(3)解:如解图②,设FG与AD交于点H,过点G作GM⊥HD,交HD于点M,H第11题解图②根据题意,设AB=5x,AD=4x,则AF=54x,FH=AF·tan∠BAD=54x·34=1516x,AH=BADAFcos=5445x=2516x,HD=AD-AH=4x-2516x=3916x,由(1)可知,∠HDG+∠ODA=90°,在Rt△HFA中,∠FAH+∠FHA=90°,∵∠OAD=∠ODA,∠FHA=∠DHG,∴∠DHG=∠HDG,∴GH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