2010届高考数学复习强化双基系列课件36《等差数列与等比数列的综合问题》

2010届高考数学复习强化双基系列课件36《等差数列与等比数列的综合问题》课前热身1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，()，38的特点，在括号内适当的一个数是_____.2.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,b∈R且a≠b)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为()A.3/8B.11/24C.13/24D.31/723.等比数列{an}的各项都是正数，且a2,a3/2,a1成等差数列，则(a5+a6)/(a4+a5)的值是()A.B.C.D.或21521525121521531DA4.等比数列{an}中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5+a7)=_________5.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为()A.20B.22C.24D.28C9课前热身考点一:等差数列{}的概念、通项公式和前n项和公式.na1.等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.2.通项公式等差an=a1+(n-1)d3.前项和公式Sn=a1+a2+a3+…+an=2)(1naandnnna2)1(1【典型例题1】设数列{an}的前项和为Sn=n2+2n+4(n∈N＋)(1)写出a1，a2，a3；(2)证明:数列{an}除去首项后所成的数列a2,a3,a4,…是等差数列.评:由于a2-a1=5-7=-2,∴an+1-an=-2故不对任意成立，数列{an}不是等差数列.【同类变式】设数列{un}是公差不为0的等差数列,│u11│=│u51│,u20=22,设数列{un}的前项和为Sn，｛│un│｝的前项和为Tn.(1)求u31的值;(2)求Tn的表达式.2611860nnTn考点二：等差数列的性质：1.等差中项如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，则A叫a、b的等差中项．A＝(a+b)/2m+n=p+q2.am+an＝ap+aq(等差数列)3.等差数列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…Skn-S(k-1)n成等差数列.4.若{kn}成等差数列,则{akn}成等差数列.【典型例题2】在等差数列中，Sn表示{an}的前项和.(1)a3+a17=10,求S19的值；(2)a1+a2+a3+a4=100,an+an-1+an-2+an-3=156,Sn=224,求项数n;(3)S4=1,S8=4,求a17+a18+a19+a20的值.【同类变式】一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d.d=5，SSSS2732354奇偶偶奇，SS162192奇偶由S偶-S奇=6d,考点三：求Sn的最大（小）值(1)在等差数列{an}中，a10,d0，则Sn有最大值，若a10,d0，则Sn有最小值.(2)求Sn的最值的几种方法:①由转化为二次函数求最值;②利用则Sn为最大.ndandsn)2(212,001nnaa【典型例题3】在等差数列{an}中(1)若a10,S4=S9,求Sn取最大值时,n的值;(2)a1=15,S4=S12,求Sn的最大值.【同类变式】若数列{an}是等差数列,数列{bn}满足bn=an·an+1·an+2(n∈N+),{bn}的前项和为,若{an}中满足3a5=8a120,试问n多大时,Sn取得最大值?证明你的结论.解析：∵3a5=8a120,∴3a5=8(a5+7d),解得a5=0,∴d0,∴,∴{an}是首项为正数的递减数列.d556da5761由解得.0576,0)1(576,001ndddndaann.51165115n∴n=16,即a160,a170,a1a2a3…a160a17a18…而b15=a15a16a170,b16=a16a17a180.∴S14S13…S1,S14S15,S15S16,又a15=0,a18=0,d56d59∴a15,∴,即b15+b16018a1615bb∴S16S14,故Sn中S16最大.评：解此题的关键是确定数列的单调性，利用不等式组，探讨中的正负关系。nb001nnaa若数列{an}是等差数列,数列{bn}满足bn=an·an+1·an+2(n∈N+),{bn}的前项和为Sn,若{an}中满足3a5=8a120,试问n多大时,Sn取得最大值?证明你的结论b1b2b3…b140b17b18…考点四:等比数列{}的概念、通项公式和前n项和公式.na1.等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列.2.通项公式an=a1qn-13.前项和公式Sn=a1+a2+a3+…+an=)1(,11)1()1(,111qqqaaqqaqnann【典型例题4】数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=2n,bn=3n+2,它们的公共项由小到大排成的数列是{cn}.(1)写出{cn}前5项；(2)证明{cn}是等比数列.【同类变式】（1）已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-tcn}为等比数列，求常数t;(2)设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列{cn}不是等比数列。评：依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等比数列，是数列中的基本问题之一。提示（1）…(2-t)(3-t)2n3n=0p=2或p=3.（2）为证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1×c3考点五：等比数列的性质：1.等比中项如果在a、b中间插入一个数G，使a、G、b成等差数列，则G叫a、b的等差中项．G2＝abm+n=p+q2.aman＝apaq(等比数列)4.等差比列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…Skn-S(k-1)n成等比数列.5.若{kn}成等差数列,则{}成等比数列.nka3.a1an=a2an-1=…=akan-k+1=…若an0,a1a2…an=21)(nnaa6.重要性质：m+n=p+qam+an＝ap+aq(等差数列)am·an＝ap·aq(等比数列)(m、n、p、q∈N*)特别地m+n=2pam+an＝2ap(等差数列)am·an＝a2p(等比数列)知识要点【典型例题5】在等比数列{an}中,Sn表示前n项和.(1)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和公比q;(2)Sn=2,S2n=12,求S3n.【同类变式】在1/n和n+1之间插入n个正数,使这n+2个数依次成等比数列,求所插入的n个数之积.解：设这n个数为x1，x2，x3，…xn，且公比为q，则有111nqnn=2)1(1nnnqn=2)]1([1nnnnn=2)1(nnn∴qn+1=n(n+1),xk=qkn(k=1,2,3,…,n)∴x1x2x3…xn=(qq2q3…qn)nn【典型例题6】设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)解法一：设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有)(9)()(1)1(41)1(312131122121qaqaqaqaqqqaqqamm化简得10831),1(9114121aqqqaqq解得设数列{lgan}前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)=nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg321=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n.23lg27可见，当n=，时3lg3lg272lg2Sn最大.4.024.073.043lg3lg272lg2而=5.5,故{lgan}的前5项和最大.设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)解法二：接前，311081qa于是lgan=lg［108()n－1］31=lg108+(n－1)lg31∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，31令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,∴n≤4.04.043.023lg3lg42lg2=5.5.由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大.1.等比数列{an}的首项a1=－1,前n项和为Sn,若，则Sn等于()C.2D.－232B.32A.3231510SSlimnB2.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0logm(ab)1,则m的取值范围是_________.3.等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.4.已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则=_________.ycxa(8,+∞)第11项a11=2925.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.(2)解法一：由d＜0可知a1a2a3…a12a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为：5.(1)解：依题意有：0212131302111212,12211311213daSdaSdaaak≥0且ak+1＜0,0)2(0)3(33dkadka即∵a3=12,,122123dkddkd∵d＜0,∴2－＜k≤3－d12d12∵－＜d＜－3,∴＜－＜4,得5.5＜k＜7.解之得公差d的取值范围为－＜d＜－3.72472427d12因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.解法二：由d＜0得a1a2…a12a13，因此，若在1≤k≤12中有自然数k,使得ak≥0,且ak+1＜0,则Sk是S1，S2，…，S12中的最大值.由等差数列性质得，当m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13=S13＜0,132∴a7＜0,a7+a6=a1+a12=S120,61∴a6≥－a70,故在S1，S2，…，S12中S6最大.解法三：依题意得：)(2)212()1(221nnddndnnnaSn222)]245(21[,0,)245(8)]245(21[2dnddddnd最小时，Sn最大；∵－＜d＜－3,∴6＜(5－)＜6.5.72421d24从而，在正整数中，当n=6时，［n－(5－)］2最小，所以S6最大.21d24点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求{Sn}中的最大值Sk,1≤k≤12,思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak≥0且ak+1＜0，思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.6.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列a,a,…,a,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)记T