哈工大现代控制理论实验报告之二

1/13现代控制理论基础上机实验报告之二基于降维观测器的亚微米超精密车床振动控制院系航天学院专业自动化姓名李蒙班号1004102指导老师王述一哈尔滨工业大学2013年6月5日2/13一、工程背景介绍1.超精密车床隔振系统的作用超精密机床是实现超精密加工的关键设备，而环境振动又是影响超精密加工精度的重要因素。为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空气弹簧作为隔振元件，并取得了一定的效果，但是这属于被动隔振，这类隔振系统的固有频率一般在2Hz左右。这种被动隔振方法难以满足超精密加工对隔振系统的要求。为了解决这个问题，有必要研究被动隔振和主动隔振控制相结合的混合控制技术。2.隔振系统的物理描述上图表示了亚微米超精密车床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元件为空气弹簧，主动隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器。床身空气弹簧作动器作动器工件地基3/13上图表示一个单自由度振动系统，空气弹簧具有一般弹性支承的低通滤波特性，其主要作用是隔离较高频率的基础振动，并支承机床系统；主动隔振系统具有高通滤波特性，其主要作用是有效地隔离较低频率的基础振动。主、被动隔振系统相结合可有效地隔离整个频率范围内的振动。床身质量的运动方程为：pa0msFF（1）pF——空气弹簧所产生的被动控制力；aF——作动器所产生的主动控制力。假设空气弹簧内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：G控制器地基床身m传感器传感器0ss0kcm机床质量c空气弹簧粘性阻尼系数0k空气弹簧刚度系数G主动隔振系统作动器（不表示参数）s0s地基位移机床位移4/13p0rrree{1[/()]}nFcykypVVAyA（2）rV——标准压力下的空气弹簧体积；0yss——相对位移（被控制量）；rp——空气弹簧的参考压力；rA——参考压力下单一弹簧的面积；er4AA——参考压力下空气弹簧的总面积；n——绝热系数。电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通量密度及永久磁铁和电磁铁之间的间隙面积有关，这一关系具有强非线性。由于系统工作在微振动状况，且在低于作动器截止频率的低频范围内，因此主动控制力可近似线性化地表示为：aeaFkI（3）ek——力-电流转换系数；aI——电枢电流。其中，电枢电流aI满足微分方程：aaa(,)()LIRIEIyut（4）L——控制回路电枢电感系数；R——控制回路电枢电阻；E——控制回路反电动势；u——控制电压。3.基于降维观测器的振动控制系统设计针对亚微米超精密车床的振动控制系统，我们可以采用全状态反馈法设计控制规律。但是在工程实践中，传感器一般只能测量基座和床身的位移信号，不能测量它们的速度及加速度信号，所以后两个状态变量不能获得，换句话说全状态反馈很难真正实现。为了解决这个问题，本实验设计一个降维（2维）状态观测器，用来解决状态变量2x、3x的估计问题，从而真正实现全状态反馈控制。5/13二、实验目的通过本次上机实验，使同学们熟练掌握：降维状态观测器的概念及设计原理；线性系统分离原理的内涵；进一步熟悉极点配置及状态反馈控制律的设计过程；MATLAB语言的应用。三、闭环系统性能指标要求所设计系统：闭环系统单位阶跃响应的超调量不大于5%；过渡过程时间不大于0.5秒（0.02）。闭环系统渐近稳定降维观测器渐近稳定四、给定的实际参数已知一个车床的实际参数如下：01200N/mk，980N/Aek，kg120m，2.0c，Ω300R，H95.0L。五、建立控制系统的开环状态空间模型假定0s为常数，将式0yss两边求关于时间的二阶导数可得：pa1ysFFm0rrreeea1{1[/()]}ncykypVVAyAkIm（5）记为：6/130ea1ycykykIm（6）其中rrree{1[/()]}npVVAyA。对式（6）两边继续求导得：0ea1ycykykIm（7）结合车床质量运动方程及电磁作动器原理，由式（6）可得：0aemycykyIk（8）则：0aemycykyIk（9）综合以上各式：00aee(,)()mycykymycykyLREIyutkk即：00eae(,)()LmyLcRmyLkRcyRkyLRkEIykut将非线性项ea(,)LRkEIy视为干扰信号，略去不计，可得线性化模型为：00e()LmyLcRmyLkRcyRkykut（10）考虑到以上微分方程，可取状态变量为：1xy，2xy，3xy可得系统开环状态方程为：7/13122300e3123xxxxRkLkRckLcRmxxxxuLmLmLmLm由此得开环系统的状态空间表达式为：112200e3312301000010100xxxxuRkLkRckLcRmxxLmLmLmLmxyxx（11）代入车床如下实际参数01200N/mk，980N/Aek，kg120m，2.0c，Ω300R，H95.0L。得开环系统的状态空间表达式为：uxxxxxx6.8008.3155.109.3157100010321.3.2.1321001xxxy8/13即：A=8.3155.109.3157100010，B=6.800，C=001六、降维观测器方程的推导过程由开环系统状态空间表达式可以看出，状态变量1x是可观测的。由于系统能观，rank(C)=1，故其余的2个状态分量只需用2维的降维观测器进行重构即可。降维观测器的设计过程如下：设受控系统记为：)(0CBA，，，由于对降维观测器的要求是保证闭环系统渐近稳定和降维观测器渐近稳定，故只需要保证观测器极点在根平面左侧即可。考虑到需要突出主导极点的作用，则所选极点应该距离虚轴足够远。此处，选两个极点为-300和-400取变换矩阵为T，其中01-CCT100010001（由于只需保证第一行为C且1T=0，为方便计算，此处取变换阵为单位阵），T100010001ATTA1-8.31553.109.3157100010=BBTB16.800=21BB，CCTC001，经过此变换，系统被按照状态能检测分为了两部分（可检测部分和不9/13可检测部分）。降维观测器期望特征方程为：1200000700)400)(300()(2f设21ggG，得观测器特征多项式：)53.1079.315()79.315())(det()(21121222gggAGAIf故12000053.1079.31570079.315211ggg解得：21ggG=2.134021.384则uBGByAGAGAGAwAGAw)()]()[()(12112112221222yGwx23计算得：uyww6.809309501489608.3157.132912.384yGwx23=yww2.134021.38421则：ywywyx2.134021.38421再变换到x，得：10/13x=Tx=x=ywywy2.134021.38421七、基于降维观测器的状态反馈控制律设计根据性能指标21p100%5%e，解得0.69，所以046.36。根据性能指标s40.5nt，解得8n。留出裕量，取8.0，5.12n，则：10n，5.712n。为此得两共轭极点为js5.7101，js5.7102，取第三个极点为1003s。于是得出系统期望特征多项式为：1562525.2156120)100)(5.710)(5.710()(23jjf（12）设状态反馈控制律为：rxxxkkku321]321[则闭环系统的状态空间表达式为：uxxxkkkxxx6.8006.88.3156.853.106.89.3157100010321321.3.2.1321001xxxy则此时闭环系统的特征多项式为：12323*6.89.3157)6.85.10()6.88.315()(kkkf（13）11/13将式（12）与式（13）比较可得：156256.89.315725.21566.85.101206.88.315123kkk，最终解得：8.225.2497.1449321kkk8.22-5.2497.1449K。综上所述：则基于降维观测器的状态反馈闭环系统为：rywywyrxKu2.134021.3848.225.2497.144921uyww6.809309501489608.3157.132912.384uxBuAxx6.8008.3155.109.3157100010八、基于Matlab/Simulink的闭环系统数字仿真根据以上所得闭环系统状态空间表达式，构件系统框图，如下图所示：12/13StepScope1sIntegrator21sIntegrator11sIntegrator-8.6Gain7-10.5Gain6-K-Gain5-K-Gain41449.7Gain3249.5Gain2-22.8Gain1Add1Add仿真结果从仿真结果可以看出，系统是稳定的。阶跃输入时，超调量为1.55%，13/13过渡过程时间很小，满足设计要求。九、实验结论及心得实验结论：基于降维观测器所设计的系统的状态空间表达式为：rywywyrxKu2.134021.3848.225.2497.144921uyww6.809309501489608.3157.132912.384uxBuAxx6.8008.3155.109.3157100010通过数字仿真，可以知道系统是稳定的，并且满足动态性能要求。心得体会：通过设计进一步理解掌握了状态空间法的设计步骤，充分将所学的知识应用到了实际的系统设计中，同时也加深了应用matlab中的simulink仿真模块进行系统仿真的方法。十、附录1.求解降维观测器时用到的程序A22=[01;-10.53-315.8];A21=[0;-3157.9];A11=0;A12=[10];B2=[0;-8.6];B1=0;G=[384.21;-1340.2];M1=A22-G*A12M2=(A22-G*A12)*G+(A21-G*A11)M3=(B2-G*B1)