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第二章作业讲解中国计量学院何文辉2-4测量某物体重量8此，侧得数据（单位g）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40.求算术平均值及标准差。序号li△liVi1236.450.050.022236.37-0.03-0.063236.510.110.084236.34-0.06-0.095236.39-0.01-0.046236.480.080.057236.470.070.048236.400-0.03236.400.03236.43x=+=8100.03(0.02625)8iilx=∆∆==∑810.03iiv==−∑规则二校核：40.010.042nA=×=810.030.04iiv==∑计算正确821=0.06(0.05988)1iivnσ=≈−∑2—7在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm)为20．0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99％的置信概率确定测量结果。解：求算术平均值求单次测量的标准差求算术平均值的标准差mmnlxnii0015.201==∑=mmnvnii48121055.2410261−−=×=×=−=∑σmmnx441014.151055.2−−××==＝σσ确定测量的极限误差因n＝5较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。现自由度为：ν＝n－1＝4；α＝1－0.99＝0.01，查t分布表有：ta＝4.60极限误差为写出最后测量结果2－10用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有0015.0≤±=±nttxσσ根据题目给定得已知条件，有5.1001.00015.0=≤nt查教材附录表3有若n＝5，v＝4，α＝0.05，有t＝2.78，24.1236.278.2578.2===nt若n＝4，v＝3，α＝0.05，有t＝3.18，59.1218.3418.3===nt即要达题意要求，必须至少测量5次。2-14甲乙两测试者，用正弦尺对一锥体的锥角α各重复测量5次，侧得值如下：试求其测量结果。解：对甲而言51=7230=7.041165iiαα=′′′=∑甲。。甲mmtxx44lim1024.51014.160.4−−×=××±=±=σδα()mmxxL4lim1024.50015.20−×±=+=δ521=0.00228(1)iivnnασ==−∑甲。对乙而言51=7233=7.04255iiαα=′′′=∑乙。。乙521=0.00167(1)iivnnασ==−∑乙。两测量者的权是：2211==0.536ppαασσ乙甲乙甲：：可取=0.536=1pp乙甲，则+=1.536pp乙甲+==7.0422=7232+ppppααα′′′。。乙乙甲甲乙甲2222121+==0.0004=1.442-1+(1)iixxxiiipvppppmpασσσ==′′=−∑∑乙甲乙甲。乙甲（）（）=3=4.32ααδσ′′±最后结果可写为：3=72324.32ασ′′′′′±±。2-16对某重力加速度作两组测量，第一组测量具有平均值为29.811m/s、其标准差为20.014m/s。第二组测量具有平均值为29.802m/s，其标准差为20.022m/s。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此两组测量的平均值和标准差。解：求权：121222221111:::2.469:10.0140.022xxppσσ==≈则221212.4699.8119.8029.808/(9.80840559)2.4691iiiiipxxmsp==×+==≈+∑∑则残差119.8119.8080.003xvxx=−=−=229.8029.8080.006xvxx=−=−=−故222221212.469(0.003)(0.006)0.004/(0.0040967)(21)(2.4691)(1)iixixiipvmsmpσ==×+−==≈−×+−∑∑2-19等精度侧得某一电压10次，侧得结果（单位为V）为25.94,25.97,25.98,26.01,26.04,26.02,26.04,25.98,25.96,26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位为V）为25.93,25.94,25.98,26.02，26.01,25.90,25.93,26.04,25.94,26.02.试用t检验法（取0.05α=）判断两组测量值之间是否有系统误差。解：用t检验法判断第一组测量数据26.001x=102223111()1.549101.5491010xiixxxnσ−−==−=××=×∑第二组测量数据：25.97y=10223111()0.02152.151010yiiyyynσ−==−=×=×∑故2233(2)()()()1010(10102)(26.00125.97)(1010)(101.54910102.1510)=1.53xyxyxyxxyynnnntxynnnnσσ−−+−=−++××+−=−+××+××.因为1010218v=+−=取0.05α=，查t分布表，得2.10tα=1.532.10ttα==所以，无根据怀疑测量列间存在系统误差。2-20对某量进行12次测量，侧得数据为20.06,20.07,20.08,20.10,20.12,20.11,20.14,20.18,20.21,20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。残余误差观察法残余误差校核法（马尔科夫准则）阿卑-赫梅特准则（发现周期性系统误差）不同公式计算标准差比较法存在线性系统误差2-21对某量进行12次测量，测得数据如下：ix0.620.861.131.131.161.811.201.211.221.261.301.341.391.411.57iy0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。解：将两组排列组成下表：i12345678910ix0.620.861.131.131.161.181.201.21iy0.991.12i11121314151617181920ix1.221.261.301.341.39iy1.211.251.311.311.38i21222324252627282930ix1.411.57iy1.411.481.501.591.601.601.841.95得：T=1+2+5+6+7+8+9+10112++12+14+15+18+20+21222++25=174因为1510xynn==，秩和T近似正态分布，(1)((1))(,)212xxyxyxynnnnnnnN++++所以，数学期望(1)15(15151)232.522xxynnna++++===标准差(1)1515(15151)24.11212xyxynnnnσ++××++===.所以，174232.52.42724.1Tatσ−−===−当置信概率98.36%p时，2.42tα=2.427ttα=此时，有根据怀疑两组之间存在系统误差。而当置信概率98.76%p时，2.50tα=2.427ttα=此时，无根据怀疑两者之间存在系统误差。.2-22对某量进行15次测量，侧得数据为28.53,28.52,28.50,29.52,28.53,28.53,28.50,28.49,28.49,28.51,28.53,28.52,28.49,28.40,28.50，若这些测得值已消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别测量列中是否含有粗大误差的测量值。解：莱以特准则15210.261iivnσ===−∑330.260.78σ=×=根据莱以特准则，第4次测量值的残余误差40.950.78v=所以含有粗大误差，故将第4个测量值删除，再根据剩下的14个测量值，重复上述步骤。格罗布斯准则：28.57,0.0327xσ==按测量值的大小排序得，(1)(15)28.40,29.52xx==这两个测量值可怀疑，由于(1)28.5728.400.17xx−=−=(15)29.5228.570.95xx−=−=故应首先怀疑(15)x是否含有粗大误差，计算(15)(15)29.5228.57g3.650.26xxσ−−===取0.05α=，查表得，0(15,0.05)2.41g=，则1503.65(15,0.05)2.41gg==故第4个测量值，即(15)x含有粗大误差。删掉该值，重复上述过程，找剩下的14个数是否含有粗大误差，这里不能直接计算(1)g，判断(1)x是否含有粗大误差。狄克松准则：因为n=1514，计算22r即可，同样可判断第4个测量值含有粗大误差。2-26对某被测量x进行间接测量得：21.44,32.18,42.90xxx===，其权分别为5:1:1，试求x的测量结果及标准差？解：第一次测量：11.440.722x==第二次测量：22.180.7273x=≈第三次测量：32.900.7254x==所以，311233150.722(0.72171)511iiiiipxxxxxp==++==≈++∑∑则110.720.7220.002xvxx=−=−=−220.7270.7220.005xvxx=−=−=330.7250.7220.003xvxx=−=−=故322221315(0.002)0.0050.0030.002(0.00196396)(31)(511)(1)iixixiipvmpσ==×−++==≈−×++−∑∑因测量次数较少，按t分布计算极限误差：自由度312v=−=若取0.05α=则4.30tα=最终测量结果为0.7220.009xxxtασ=±=±